Escreva as funções de onda e as energias para uma partícula confinada em um (a) paralelepípedo e (b) cubo.

Passo 1

Então, galera! A gente tem aqui um exercício de física quântica que pede para escrever as funções de onda e as energias de uma partícula confinada em dois tipos de caixas: um paralelepípedo e um cubo. Vamos precisar entender o conceito de partícula em uma caixa, que é um modelo básico para estudar partículas quânticas em potenciais limitados. Vamos usar as equações de Schrödinger para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função de onda descreve o estado quântico da partícula, e as energias associadas são os valores permitidos para essa partícula na caixa. Para uma partícula em um paralelepípedo, que tem dimensões diferentes em cada direção (x, y, z), a função de onda pode ser separada em três partes, cada uma dependendo de uma coordenada.

Passo 3

A função de onda para o paralelepípedo é dada por:
psinx,ny,nz(x,y,z) = raiz8abc sin(nx pi xa) sin(ny pi yb) sin(nz pi zc)
Aqui, , e são os comprimentos das arestas do paralelepípedo, e , , são números quânticos que determinam os diferentes estados de energia.

Passo 4

As energias associadas a essas funções de onda são dadas por:
Enx,ny,nz = pi^2 hbar^22m ( nx^2a^2 + ny^2b^2 + nz^2c^2 )
Aqui, é a constante reduzida de Planck e é a massa da partícula.

Passo 5

Agora, para o caso do cubo, que é um paralelepípedo especial onde todas as arestas têm o mesmo comprimento (ou seja, ), as funções de onda e as energias ficam mais simples.

Passo 6

A função de onda no cubo é:
psinx,ny,nz(x,y,z) = raiz8L^3 sin(nx pi xL) sin(ny pi yL) sin(nz pi zL)

Passo 7

E as energias correspondentes no cubo são:
Enx,ny,nz = 3 pi^2 hbar^22mL^2 (nx^2 + ny^2 + nz^2)

Resposta

As funções de onda e as energias para uma partícula confinada são:
(a) Paralelepípedo
psinx,ny,nz(x,y,z) = raiz8abc sin(nx pi xa) sin(ny pi yb) sin(nz pi zc)
Enx,ny,nz = pi^2 hbar^22m ( nx^2a^2 + ny^2b^2 + nz^2c^2 )
(b) Cubo
psinx,ny,nz(x,y,z) = raiz8L^3 sin(nx pi xL) sin(ny pi yL) sin(nz pi zL)
Enx,ny,nz = 3 pi^2 hbar^22mL^2 (nx^2 + ny^2 + nz^2)

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