Escreva as funções de onda e as energias para uma partícula confinada em um (a) paralelepípedo e (b) cubo.
Passo 1
Então, galera! A gente tem aqui um exercício de física quântica que pede para escrever as funções de onda e as energias de uma partícula confinada em dois tipos de caixas: um paralelepípedo e um cubo. Vamos precisar entender o conceito de partícula em uma caixa, que é um modelo básico para estudar partículas quânticas em potenciais limitados. Vamos usar as equações de Schrödinger para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função de onda descreve o estado quântico da partícula, e as energias associadas são os valores permitidos para essa partícula na caixa. Para uma partícula em um paralelepípedo, que tem dimensões diferentes em cada direção (x, y, z), a função de onda pode ser separada em três partes, cada uma dependendo de uma coordenada.
Passo 3
A função de onda para o paralelepípedo é dada por:
Aqui,
,
e
são os comprimentos das arestas do paralelepípedo, e
,
,
são números quânticos que determinam os diferentes estados de energia.
Passo 4
As energias associadas a essas funções de onda são dadas por:
Aqui,
é a constante reduzida de Planck e
é a massa da partícula.
Passo 5
Agora, para o caso do cubo, que é um paralelepípedo especial onde todas as arestas têm o mesmo comprimento
(ou seja,
), as funções de onda e as energias ficam mais simples.
Passo 6
A função de onda no cubo é:
Passo 7
E as energias correspondentes no cubo são:
Resposta
As funções de onda e as energias para uma partícula confinada são:
(a) Paralelepípedo
(b) Cubo
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