(a) Determine o número quântico n correspondente a um objeto macroscópico de massa 1,0 g, se movendo a uma velocidade de 1,0 cm s^-1 em uma caixa unidimensional de comprimento L=1,0 cm. (b) Em que se baseia o princípio da correspondência?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas partes:
(a) Determinar o número quântico para um objeto macroscópico com massa de , movendo-se a uma velocidade de dentro de uma caixa unidimensional de comprimento .
(b) Explicar em que se baseia o princípio da correspondência.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados a partículas em uma caixa e a relação entre energia quântica e energia clássica.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
  • Massa
  • Velocidade
  • Comprimento da caixa

Passo 3

Para uma partícula em uma caixa unidimensional, os níveis de energia são dados por:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2
onde:
  • é a energia do nível quântico ,
  • é a constante de Planck reduzida ( ),
  • é a massa da partícula,
  • é o comprimento da caixa,
  • é o número quântico (um número inteiro positivo).

Passo 4

A energia clássica de um objeto em movimento é dada por:
Eclássica = 12 m v^2 á
Vamos igualar n^2 pi^2 hbar^22 m L^2 = 12 m v^2 à energia clássica para encontrar o número quântico :

Passo 5

Simplificando a equação, temos:
n^2 = m^2 v^2 L^2pi^2 hbar^2
Tomando a raiz quadrada dos dois lados para encontrar n = m v Lpi hbar :

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores numéricos:
n = (1,0 times 10^-3 , kg) times (1,0 times 10^-2 , m/s) times (1,0 times 10^-2 , m)pi times 1,0545718 times 10^-34 , J·s

Passo 7

Calculando o numerador:
m v L = 1,0 times 10^-3 times 1,0 times 10^-2 times 1,0 times 10^-2 = 1,0 times 10^-7 , kg·m^2/s
E o denominador:
pi hbar approx 3,1416 times 1,0545718 times 10^-34 approx 3,309 times 10^-34 , J·s

Passo 8

Agora, dividindo os valores:
n = 1,0 times 10^-73,309 times 10^-34 approx 3,02 times 10^26

Resposta

O número quântico para o objeto macroscópico é aproximadamente . No que diz respeito ao princípio da correspondência, ele se baseia na ideia de que os resultados da mecânica quântica convergem para os da mecânica clássica quando os números quânticos são muito grandes, ou seja, em sistemas macroscópicos.

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