Quais as posições de probabilidade nula de se encontrar uma partícula numa caixa unidimensional de comprimento L, para os estados (a) (b) © ? Desconsidere as paredes, região onde as probabilidades também são nulas (garantia de continuidade de de uma partícula numa caixa).

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula presa numa caixa que é só numa dimensão, com comprimento L. A pergunta é: para os estados quânticos com números quânticos n = 2, 3 e 4, em quais posições dentro da caixa a probabilidade de encontrar a partícula é zero? Vamos usar a teoria de partículas na caixa para resolver isso, especialmente olhando as funções de onda que descrevem esses estados.

Passo 2

Primeiro, lembra como é a função de onda para uma partícula numa caixa unidimensional. Ela é dada por:
Onde:
  • é o número quântico (1, 2, 3, …),
  • é o comprimento da caixa,
  • varia de 0 a L.

Passo 3

A probabilidade de encontrar a partícula em uma posição é dada pelo quadrado da função de onda:
A probabilidade é zero quando .

Passo 4

Vamos resolver . Sabemos que o seno é zero quando seu argumento é múltiplo de :
Simplificando:

Passo 5

Queremos as posições dentro da caixa, então deve estar entre 0 e L. Além disso, já estamos desconsiderando as paredes, então excluímos e . Portanto, os valores de vão de 1 até .

Passo 6

Agora, vamos aplicar isso para cada caso:
(a) n = 2
Então, a probabilidade é zero em .
(b) n = 3
As probabilidades são zero em e .
© n = 4
As probabilidades são zero em , e .

Resposta

As posições de probabilidade nula dentro da caixa são:
(a) Para :
(b) Para : e
© Para : , e

Exercícios relacionados

Escreva as funções de onda e as energias para uma partícula confinada em um (a) paralelepípedo e (b) cubo.
Em uma solução biológica, o para o é . Determine a solubilidade do em água se a concentração de for .
(a) Determine o número quântico correspondente a um objeto macroscópico de massa , se movendo a uma velocidade de uma caixa unidimensional de comprimento . (b) Em que se baseia o princípio da correspondência?
Qual a probabilidade, , de localizar o elétron entre (extremidade esquerda de uma caixa) e , no seu estado de energia mais baixa, em uma caixa unidimensional com o comprimento de ? Observação: Primeiramente faz-se necessário normalizar a função de onda da partícula na caixa.