Quais as posições de probabilidade nula de se encontrar uma partícula numa caixa unidimensional de comprimento L, para os estados com (a) n=2 e (b) n=3 e © n=4 ? Desconsidere as paredes, região onde as probabilidades também são nulas (garantia de continuidade de psi de uma partícula numa caixa).

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula presa numa caixa que é só numa dimensão, com comprimento L. A pergunta é: para os estados quânticos com números quânticos n = 2, 3 e 4, em quais posições dentro da caixa a probabilidade de encontrar a partícula é zero? Vamos usar a teoria de partículas na caixa para resolver isso, especialmente olhando as funções de onda que descrevem esses estados.

Passo 2

Primeiro, lembra como é a função de onda para uma partícula numa caixa unidimensional. Ela é dada por:
psin(x) = raiz2L sin(npi xL)
Onde:
  • é o número quântico (1, 2, 3, …),
  • é o comprimento da caixa,
  • varia de 0 a L.

Passo 3

A probabilidade de encontrar a partícula em uma posição Pn(x) = |psin(x)|^2 = 2L sin^2(npi xL) é dada pelo quadrado da função de onda:
A probabilidade é zero quando .

Passo 4

Vamos resolver npi xL = mpi onde m = 0, 1, 2, dots . Sabemos que o seno é zero quando seu argumento é múltiplo de x = mLn :
Simplificando:

Passo 5

Queremos as posições dentro da caixa, então deve estar entre 0 e L. Além disso, já estamos desconsiderando as paredes, então excluímos e . Portanto, os valores de vão de 1 até .

Passo 6

Agora, vamos aplicar isso para cada caso:
(a) n = 2
m = 1
x = 1 cdot L2 = L2
Então, a probabilidade é zero em m = 1, 2 .
(b) n = 3
x = 1 cdot L3 = L3
x = 2 cdot L3 = 2L3
m = 1, 2, 3
As probabilidades são zero em x = 1 cdot L4 = L4 e x = 2 cdot L4 = L2 .
© n = 4
x = 3 cdot L4 = 3L4
As probabilidades são zero em , e .

Resposta

As posições de probabilidade nula dentro da caixa são:
(a) Para :
(b) Para : e
© Para : , e

Exercícios relacionados