Quais as posições de probabilidade nula de se encontrar uma partícula numa caixa unidimensional de comprimento L, para os estados
(a)
(b)
©
? Desconsidere as paredes, região onde as probabilidades também são nulas (garantia de continuidade de
de uma partícula numa caixa).
Passo 1
Então, a gente tem uma partícula presa numa caixa que é só numa dimensão, com comprimento L. A pergunta é: para os estados quânticos com números quânticos n = 2, 3 e 4, em quais posições dentro da caixa a probabilidade de encontrar a partícula é zero? Vamos usar a teoria de partículas na caixa para resolver isso, especialmente olhando as funções de onda que descrevem esses estados.
Passo 2
Primeiro, lembra como é a função de onda para uma partícula numa caixa unidimensional. Ela é dada por:
Onde:
-
é o número quântico (1, 2, 3, …), -
é o comprimento da caixa, -
varia de 0 a L.
Passo 3
A probabilidade de encontrar a partícula em uma posição
é dada pelo quadrado da função de onda:
A probabilidade é zero quando
.
Passo 4
Vamos resolver
. Sabemos que o seno é zero quando seu argumento é múltiplo de
:
Simplificando:
Passo 5
Queremos as posições dentro da caixa, então
deve estar entre 0 e L. Além disso, já estamos desconsiderando as paredes, então excluímos
e
. Portanto, os valores de
vão de 1 até
.
Passo 6
Agora, vamos aplicar isso para cada caso:
(a) n = 2
Então, a probabilidade é zero em
.
(b) n = 3
As probabilidades são zero em
e
.
© n = 4
As probabilidades são zero em
,
e
.
Resposta
As posições de probabilidade nula dentro da caixa são:
(a) Para
:
(b) Para
:
e
© Para
:
,
e
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for
.
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