Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace
(a) f(t) = { 2, se 0 <= t < 3; -2, se t >= 3 }
R:: f(t) = 2 - 4 U(t - 3) e L(f(t)) = 2/s - 4 e^(-3s)/s

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função f(t) definida por partes:
O objetivo é reescrever essa função usando a função degrau, também conhecida como função de Heaviside, representada por . Além disso, precisamos calcular a Transformada de Laplace dessa função.

Passo 2

Vamos lembrar o que é a função degrau . Ela vale 0 para e 1 para t ≥ 0. Isso nos permite “ligar” ou “desligar” partes de uma função em certos pontos no tempo.
Para nossa função f(t), ela tem dois comportamentos:
  • Vale 2 de t = 0 até t = 3.
  • Depois de t = 3, passa a valer -2.
Podemos pensar que a função começa valendo 2 e, a partir de t = 3, ocorre uma mudança de -4 (passa de 2 para -2).

Passo 3

Usando a função degrau, podemos expressar f(t) dessa forma:
Aqui, é o valor inicial da função, e representa a mudança que ocorre em t = 3.

Passo 4

Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace de f(t). Sabemos que:
E para a função degrau, temos:
Aplicando isso em nossa função:

Resposta

Portanto, a função em termos da função degrau é:
E a Transformada de Laplace de f(t) é:

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