Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace
(a)
R:: e

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é reescrever essa função usando a função degrau, também conhecida como função de Heaviside, representada por . Além disso, precisamos calcular a Transformada de Laplace dessa função.

Passo 2

Vamos lembrar o que é a função degrau . Ela vale 0 para e 1 para . Isso nos permite “ligar” ou “desligar” partes de uma função em certos pontos no tempo.
Para nossa função , ela tem dois comportamentos:
  • Vale 2 de até .
  • Depois de , passa a valer -2.
Podemos pensar que a função começa valendo 2 e, a partir de , ocorre uma mudança de -4 (passa de 2 para -2).

Passo 3

Usando a função degrau, podemos expressar dessa forma:
Aqui, é o valor inicial da função, e representa a mudança que ocorre em .

Passo 4

Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace de . Sabemos que:
E para a função degrau, temos:
Aplicando isso em nossa função:

Resposta

Portanto, a função em termos da função degrau é:
E a Transformada de Laplace de é:

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Resolva opri
Resolva o pri
Um tanque de grande capacidade, contém 1 galão de água pura. Uma salmoura, contendo 1 libra de sal por galão, entra no tanque à razão de 3 galões por minuto. A mistura, suposta uniforme, escoa do tanque à razão de 2 galões por minuto.
Determine o volume de solução no tanque, no fim de minutos.
Use transformada de Laplace para resolver os sistemas:
© , com e .
R.: e