Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace
(a)
R::
e
(a)
R::
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por partes:
O objetivo é reescrever essa função usando a função degrau, também conhecida como função de Heaviside, representada por
. Além disso, precisamos calcular a Transformada de Laplace dessa função.
Passo 2
Vamos lembrar o que é a função degrau
. Ela vale 0 para
e 1 para
. Isso nos permite “ligar” ou “desligar” partes de uma função em certos pontos no tempo.
Para nossa função
, ela tem dois comportamentos:
- Vale 2 de
até . - Depois de
, passa a valer -2.
Podemos pensar que a função começa valendo 2 e, a partir de
, ocorre uma mudança de -4 (passa de 2 para -2).
Passo 3
Usando a função degrau, podemos expressar
dessa forma:
Aqui,
é o valor inicial da função, e
representa a mudança que ocorre em
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace de
. Sabemos que:
E para a função degrau, temos:
Aplicando isso em nossa função:
Resposta
Portanto, a função em termos da função degrau é:
E a Transformada de Laplace de
é:
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Resolva opri
Resolva o pri
Um tanque de grande capacidade, contém 1 galão de água pura. Uma salmoura, contendo 1 libra de sal por galão, entra no tanque à razão de 3 galões por minuto. A mistura, suposta uniforme, escoa do tanque à razão de 2 galões por minuto.
Determine o volume de solução no tanque, no fim de
minutos.
Determine o volume
Use transformada de Laplace para resolver os sistemas:
© , com
e
.
R.: e
©
R.: