Resolva opri
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
Ela nos pede para achar a função
que satisfaz essa equação e que, além disso, passa pelo ponto
. Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais, especificamente a separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis
e
. Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, vamos escrever
como
:
Passo 3
Agora, queremos separar as variáveis
e
para integrar cada lado. Vamos rearranjar a equação:
Isso significa que temos tudo com
de um lado e tudo com
do outro lado, prontos para integrar.
Passo 4
Vamos agora integrar cada lado da equação separada:
Simplificando a integral do lado esquerdo:
Passo 5
Vamos resolver cada integral:
Do lado esquerdo:
Do lado direito, usamos integração por partes para
:
Seja
e
, então
e
.
Aplicando integração por partes:
Passo 6
Igualando as integrais e juntando as constantes:
Onde
é uma constante geral.
Passo 7
Agora, precisamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 8
Substituindo
de volta na equação geral:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial
é dada implicitamente por: