Resolva opri
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
Ela nos pede para achar a função
que satisfaz essa equação e que, além disso, passa pelo ponto
. Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais, especificamente a separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis
e
. Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, vamos escrever
como
:
Passo 3
Agora, queremos separar as variáveis
e
para integrar cada lado. Vamos rearranjar a equação:
Isso significa que temos tudo com
de um lado e tudo com
do outro lado, prontos para integrar.
Passo 4
Vamos agora integrar cada lado da equação separada:
Simplificando a integral do lado esquerdo:
Passo 5
Vamos resolver cada integral:
Do lado esquerdo:
Do lado direito, usamos integração por partes para
:
Seja
e
, então
e
.
Aplicando integração por partes:
Passo 6
Igualando as integrais e juntando as constantes:
Onde
é uma constante geral.
Passo 7
Agora, precisamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 8
Substituindo
de volta na equação geral:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial
é dada implicitamente por:
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Um tanque de grande capacidade, contém 1 galão de água pura. Uma salmoura, contendo 1 libra de sal por galão, entra no tanque à razão de 3 galões por minuto. A mistura, suposta uniforme, escoa do tanque à razão de 2 galões por minuto.
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R:: e
(a)
R::
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Determine o volume de solução no tanque, no fim de
minutos.
Determine o volume