Resolva opri { 1/t y' = y sen(t) / (y^2 + 1) ; y(pi) = 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
Ela nos pede para achar a função que satisfaz essa equação e que, além disso, passa pelo ponto . Vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais, especificamente a separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis e . Multiplicando ambos os lados por :
Agora, vamos escrever como :

Passo 3

Agora, queremos separar as variáveis e para integrar cada lado. Vamos rearranjar a equação:
Isso significa que temos tudo com de um lado e tudo com do outro lado, prontos para integrar.

Passo 4

Vamos agora integrar cada lado da equação separada:
Simplificando a integral do lado esquerdo:

Passo 5

Vamos resolver cada integral:
Do lado esquerdo:
Do lado direito, usamos integração por partes para :
Seja e , então e .
Aplicando integração por partes:

Passo 6

Igualando as integrais e juntando as constantes:
Onde é uma constante geral.

Passo 7

Agora, precisamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e :
Simplificando:

Passo 8

Substituindo de volta na equação geral:
Podemos reescrever isso como:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial é dada implicitamente por:

Exercícios relacionados