Resolva o pri
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial. A gente tem uma equação do tipo
e uma condição inicial
. Isso pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para ficar no formato padrão de uma equação diferencial linear:
. Dividindo tudo por
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai facilitar a resolução da equação. O fator integrante
é dado por:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso nos dá:
Aqui, usamos o fato que multiplicar pela fator integrante transforma a equação em uma derivada total.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
, e a integral do lado direito é
, onde
é a constante de integração.
Passo 6
Então, temos:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial é: