Resolva o pri { t * y' + y = t ; y(2) = 10 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial. A gente tem uma equação do tipo e uma condição inicial . Isso pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para ficar no formato padrão de uma equação diferencial linear: . Dividindo tudo por , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai facilitar a resolução da equação. O fator integrante é dado por:
Então, o fator integrante é .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso nos dá:
Aqui, usamos o fato que multiplicar pela fator integrante transforma a equação em uma derivada total.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para , e a integral do lado direito é , onde é a constante de integração.

Passo 6

Então, temos:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Subtraindo 1 de ambos os lados:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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