Resolva o pri
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial. A gente tem uma equação do tipo
e uma condição inicial
. Isso pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para ficar no formato padrão de uma equação diferencial linear:
. Dividindo tudo por
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai facilitar a resolução da equação. O fator integrante
é dado por:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso nos dá:
Aqui, usamos o fato que multiplicar pela fator integrante transforma a equação em uma derivada total.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
, e a integral do lado direito é
, onde
é a constante de integração.
Passo 6
Então, temos:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Um tanque de grande capacidade, contém 1 galão de água pura. Uma salmoura, contendo 1 libra de sal por galão, entra no tanque à razão de 3 galões por minuto. A mistura, suposta uniforme, escoa do tanque à razão de 2 galões por minuto.
Apenas escreva o problema de valor inicial que deve ser satisfeito pela quantidade de sal existente na solução do tanque, no fim de
minutos. Não é necessário resolve-lo.
Apenas escreva o problema de valor inicial que deve ser satisfeito pela quantidade
Uma maneira de obtermos um valor aproximado de
, para um dado valor de
no intervalo
, é usando a série binomial. Neste caso temos
, de modo que
e, dependendo da situação, podemos considerar apenas os dois ou os três primeiros termos da série para a aproximação. Considerando
e aproximando a série por seus três primeiros termos, encontramos:
Resolva opri
Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace
(a)
R:: e
(a)
R::