Resolva o pri

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial. A gente tem uma equação do tipo e uma condição inicial . Isso pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para ficar no formato padrão de uma equação diferencial linear: . Dividindo tudo por , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai facilitar a resolução da equação. O fator integrante é dado por:
Então, o fator integrante é .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso nos dá:
Aqui, usamos o fato que multiplicar pela fator integrante transforma a equação em uma derivada total.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para , e a integral do lado direito é , onde é a constante de integração.

Passo 6

Então, temos:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Subtraindo 1 de ambos os lados:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Um tanque de grande capacidade, contém 1 galão de água pura. Uma salmoura, contendo 1 libra de sal por galão, entra no tanque à razão de 3 galões por minuto. A mistura, suposta uniforme, escoa do tanque à razão de 2 galões por minuto.
Apenas escreva o problema de valor inicial que deve ser satisfeito pela quantidade de sal existente na solução do tanque, no fim de minutos. Não é necessário resolve-lo.
Uma maneira de obtermos um valor aproximado de , para um dado valor de no intervalo , é usando a série binomial. Neste caso temos , de modo que
e, dependendo da situação, podemos considerar apenas os dois ou os três primeiros termos da série para a aproximação. Considerando e aproximando a série por seus três primeiros termos, encontramos:
Resolva opri
Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace
(a)
R:: e