Seja
o sólido interior à esfera
acima do plano
considere a integral
. Calcule
usando em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma esfera com equação
e está interessado na parte dessa esfera que fica acima do plano
. O que você precisa calcular é a integral tripla
usando coordenadas cilíndricas. Para resolver isso, vamos usar o sistema de coordenadas cilíndricas, que é ótimo para lidar com simetrias circulares como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, temos as relações:
E a medida de volume
se transforma em:
Além disso,
é simplesmente
em coordenadas cilíndricas.
Passo 3
A integral
então fica:
Agora precisamos determinar os limites de integração para
,
e
.
Passo 4
Para
, como estamos lidando com uma esfera completa ao redor do eixo
, os limites são de
a
.
Para
, a partir do centro da esfera até a interseção com o plano
. Vamos encontrar isso: na esfera, para
,
Então,
varia de
a
.
Passo 5
Para
, dentro da esfera, temos:
E como queremos acima do plano
, os limites de
vão de
até
.
Passo 6
Agora, colocamos tudo junto na integral:
Vamos resolver a integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
. Vamos dividir a integral em duas partes:
Vamos calcular cada uma separadamente.
Passo 9
Primeiro, a integral
:
Fazemos a substituição , então
. Ajustando os limites:
Fazemos a substituição
- Quando
, - Quando
,
A integral se torna:
Resolvendo essa integral:
Passo 10
Agora, a segunda integral
:
Passo 11
Voltando à integral original:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
a região limitada pelas curvas
e
. Escreva uma integral que representa a integral
após aplicar a mudança para coordenadas polares. Calcule
.
Escreva a integral que nos dá a inversão da ordem de integração de
. Faça um esboço da região de integração.
Seja
o sólido interior à esfera
acima do plano
considere a integral
. Forneça uma expressão para
em coordenadas esféricas.
Seja
a região delimitada pelas circunferências
e
. Calcule a área de
.