Seja T o sólido interior à esfera x^2+y^2+z^2=4 acima do plano z=1 e considere a integral I=integral triplaT raizx^2+y^2 d V. Calcule I usando em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma esfera com equação e está interessado na parte dessa esfera que fica acima do plano . O que você precisa calcular é a integral tripla usando coordenadas cilíndricas. Para resolver isso, vamos usar o sistema de coordenadas cilíndricas, que é ótimo para lidar com simetrias circulares como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, temos as relações:
x = r cos(theta), y = r sin(theta), z = z
E a medida de volume dV = r , dz , dr , dtheta se transforma em:
Além disso, é simplesmente em coordenadas cilíndricas.

Passo 3

A integral I = integral triplaT r cdot r , dz , dr , dtheta = integral triplaT r^2 , dz , dr , dtheta então fica:
Agora precisamos determinar os limites de integração para , e .

Passo 4

Para x^2 + y^2 + 1^2 = 4 Rightarrow r^2 = 3 Rightarrow r = raiz3 , como estamos lidando com uma esfera completa ao redor do eixo , os limites são de a .
Para , a partir do centro da esfera até a interseção com o plano . Vamos encontrar isso: na esfera, para ,
Então, varia de a .

Passo 5

Para z = raiz4 - r^2 , dentro da esfera, temos:
E como queremos acima do plano , os limites de vão de até .

Passo 6

Agora, colocamos tudo junto na integral:
I = integral0^2pi integral0^raiz3 integral1^raiz4 - r^2 r^2 , dz , dr , dtheta
Vamos resolver a integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a integral1^raiz4 - r^2 r^2 , dz = r^2 ( raiz4 - r^2 - 1 ) :
I = integral0^2pi integral0^raiz3 r^2 ( raiz4 - r^2 - 1 ) dr , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a I = integral0^2pi [ integral0^raiz3 r^2 raiz4 - r^2 , dr - integral0^raiz3 r^2 , dr ] dtheta . Vamos dividir a integral em duas partes:
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 9

Primeiro, a integral -12 integral4^1 (4 - u) raizu , du = 12 integral1^4 (4 - u) raizu , du :
Fazemos a substituição 12 [ 4 cdot 23 u^3/2 - 25 u^5/2 ]1^4 = 12 ( 83 cdot 8 - 25 cdot 32 - ( 83 cdot 1 - 25 cdot 1 ) ) = 12 ( 643 - 645 - ( 83 - 25 ) ) = 12 ( 64 cdot 5 - 64 cdot 315 - 8 cdot 5 - 2 cdot 315 ) = 12 ( 320 - 19215 - 40 - 615 ) = 12 ( 12815 - 3415 ) = 12 cdot 9415 = 4715 , então . Ajustando os limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
A integral se torna:
Resolvendo essa integral:

Passo 10

Agora, a segunda integral integral0^raiz3 r^2 , dr = [ r^33 ]0^raiz3 = (raiz3)^3 3 = 3raiz33 = raiz3 :

Passo 11

Voltando à integral original:
I = integral0^2pi ( 4715 - raiz3 ) dtheta = ( 4715 - raiz3 ) integral0^2pi dtheta = ( 4715 - raiz3 ) cdot 2pi = 2pi ( 4715 - raiz3 )

Resposta

I = 2pi ( 4715 - raiz3 ) approx 2pi (3.1333 - 1.732) approx 2pi times 1.4013 approx 8.805 , unidades cúbicas ú

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