Seja o sólido interior à esfera acima do plano considere a integral . Calcule usando em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma esfera com equação e está interessado na parte dessa esfera que fica acima do plano . O que você precisa calcular é a integral tripla usando coordenadas cilíndricas. Para resolver isso, vamos usar o sistema de coordenadas cilíndricas, que é ótimo para lidar com simetrias circulares como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, temos as relações:
E a medida de volume se transforma em:
Além disso, é simplesmente em coordenadas cilíndricas.

Passo 3

A integral então fica:
Agora precisamos determinar os limites de integração para , e .

Passo 4

Para , como estamos lidando com uma esfera completa ao redor do eixo , os limites são de a .
Para , a partir do centro da esfera até a interseção com o plano . Vamos encontrar isso: na esfera, para ,
Então, varia de a .

Passo 5

Para , dentro da esfera, temos:
E como queremos acima do plano , os limites de vão de até .

Passo 6

Agora, colocamos tudo junto na integral:
Vamos resolver a integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a . Vamos dividir a integral em duas partes:
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 9

Primeiro, a integral :
Fazemos a substituição , então . Ajustando os limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
A integral se torna:
Resolvendo essa integral:

Passo 10

Agora, a segunda integral :

Passo 11

Voltando à integral original:

Resposta

ú

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