Escreva a integral tripla de uma função contínua arbitrária f(x, y, z) em coordenadas esféricas sobre o sólido a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa escrever a integral tripla de uma função contínua qualquer usando coordenadas esféricas sobre um determinado sólido. Isso envolve entender como converter as coordenadas cartesianas (x, y, z) para esféricas e ajustar a integral de acordo. Para isso, vamos precisar conhecer as fórmulas de conversão e o fator de escala (Jacobian) das coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
  • : a distância do ponto até a origem.
  • : o ângulo no plano xy a partir do eixo x (similar ao ângulo polar).
  • : o ângulo a partir do eixo z, indo para baixo.
Isso nos ajuda a descrever pontos no espaço de uma forma que pode ser mais conveniente para certos tipos de problemas, especialmente aqueles que têm simetria esférica.

Passo 3

Agora, vamos ver como converter as coordenadas cartesianas para esféricas. As relações são:
Essas fórmulas nos permitem passar de (x, y, z) para ( , , ).

Passo 4

Quando mudamos de coordenadas cartesianas para esféricas, precisamos ajustar a medida de volume. Isso é feito usando o Jacobiano da transformação, que para coordenadas esféricas é:
Esse fator aparece dentro da integral para ajustar corretamente a “escala” do volume na nova coordenada.

Passo 5

Com todas essas informações, podemos escrever a integral tripla em coordenadas esféricas. A função vira e a medida de volume vira . Então, a integral tripla fica:

Resposta

A integral tripla em coordenadas esféricas é dada por:

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