Escreva a integral tripla de uma função contínua arbitrária
em coordenadas esféricas sobre o sólido a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa escrever a integral tripla de uma função contínua qualquer
usando coordenadas esféricas sobre um determinado sólido. Isso envolve entender como converter as coordenadas cartesianas (x, y, z) para esféricas e ajustar a integral de acordo. Para isso, vamos precisar conhecer as fórmulas de conversão e o fator de escala (Jacobian) das coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
-
: a distância do ponto até a origem. -
: o ângulo no plano xy a partir do eixo x (similar ao ângulo polar). -
: o ângulo a partir do eixo z, indo para baixo.
Isso nos ajuda a descrever pontos no espaço de uma forma que pode ser mais conveniente para certos tipos de problemas, especialmente aqueles que têm simetria esférica.
Passo 3
Agora, vamos ver como converter as coordenadas cartesianas para esféricas. As relações são:
Essas fórmulas nos permitem passar de (x, y, z) para (
,
,
).
Passo 4
Quando mudamos de coordenadas cartesianas para esféricas, precisamos ajustar a medida de volume. Isso é feito usando o Jacobiano da transformação, que para coordenadas esféricas é:
Esse fator aparece dentro da integral para ajustar corretamente a “escala” do volume na nova coordenada.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos escrever a integral tripla em coordenadas esféricas. A função
vira
e a medida de volume
vira
. Então, a integral tripla fica:
Resposta
A integral tripla em coordenadas esféricas é dada por:
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Seja
a região limitada pelas curvas
e
.
© Descreva como região do tipo II.
© Descreva
Determine o domínio da função abaixo.
d)
d)