integral 1raiz8 x-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais que contêm raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado no denominador para simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado na expressão 8x - x^2 = -x^2 + 8x . Reescrevendo:
-x^2 + 8x = -(x^2 - 8x)
Para completar o quadrado, vamos fatorar o coeficiente de (-82)^2 = 16 :
x^2 - 8x = (x^2 - 8x + 16) - 16 = (x - 4)^2 - 16
Agora, completamos o quadrado para 8x - x^2 = -((x - 4)^2 - 16) = 16 - (x - 4)^2 . A gente pega o coeficiente de que é , divide por 2 e eleva ao quadrado:
Então,
Substituindo de volta:

Passo 3

Agora, nossa integral ficou assim:
integral 1raiz16 - (x - 4)^2 , dx
Essa forma é parecida com a integral padrão que resulta na função arco seno. A fórmula que vamos usar é:
integral 1raiza^2 - u^2 , du = arcsin(ua) + C
Onde e .

Passo 4

Aplicando a fórmula, temos:
arcsin(x - 44) + C

Resposta

A integral é igual a .

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