Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a região limitada pelas curvas e . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre como descrever regiões no plano para integrais duplas, especificamente as regiões do tipo II. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar os limites de integração quando a região é descrita horizontalmente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam . A primeira curva é , que podemos reescrever como . A segunda curva é .
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de . Igualando as duas expressões de :
Resolvendo a equação:
Então, ou . Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de :
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .
Passo 4
Agora, para descrever como uma região do tipo II, precisamos expressar em função de e determinar os limites de . Em uma região do tipo II, varia entre dois valores e, para cada , varia entre duas funções de .
Passo 5
Vamos reescrever as equações das curvas para expressar em função de :
Para :
Usando a fórmula quadrática:
Para :
Passo 6
Determinar os limites de . Sabemos que os pontos de interseção são e . Portanto, varia de a .
Passo 7
Para cada valor de entre e , varia entre a curva e a curva (a solução positiva da equação quadrática).
Passo 8
Então, a descrição da região como uma região do tipo II fica assim: