Seja D a região limitada pelas curvas y = -x(x - 3) e y = -2 x.
© Descreva D como região do tipo II.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a região limitada pelas curvas e . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre como descrever regiões no plano para integrais duplas, especificamente as regiões do tipo II. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar os limites de integração quando a região é descrita horizontalmente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam . A primeira curva é , que podemos reescrever como . A segunda curva é .

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de . Igualando as duas expressões de :
Resolvendo a equação:
Então, ou . Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de :
  • Para :
  • Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora, para descrever como uma região do tipo II, precisamos expressar em função de e determinar os limites de . Em uma região do tipo II, varia entre dois valores e, para cada , varia entre duas funções de .

Passo 5

Vamos reescrever as equações das curvas para expressar em função de :
  1. Para :
Usando a fórmula quadrática:
  1. Para :

Passo 6

Determinar os limites de . Sabemos que os pontos de interseção são e . Portanto, varia de a .

Passo 7

Para cada valor de entre e , varia entre a curva e a curva (a solução positiva da equação quadrática).

Passo 8

Então, a descrição da região como uma região do tipo II fica assim:

Resposta

A região do tipo II é descrita por:

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