Escreva a matriz de mudança da base para a base e exprima o vetor em função de e , sabendo que e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer duas coisas:
  1. Escrever a matriz de mudança da base para a base .
  2. Expressar o vetor em termos dos vetores da base , ou seja, em .
Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e combinação linear. Vamos precisar entender como transformar coordenadas de uma base para outra e como combinar vetores usando essas bases.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz de mudança de base de para . Isso significa que queremos uma matriz que, quando multiplicada por um vetor na base , nos dê as coordenadas desse vetor na base .
Mas como fazemos isso? A gente sabe que os vetores da base já estão expressos na base . Então, a matriz de mudança de para será composta pelas coordenadas dos vetores de na base .
Então, montamos a matriz cujas colunas são na base :
Essa matriz é a matriz de mudança de base de para .

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor em termos da base .
Primeiro, substituímos cada pelas suas coordenadas na base :
Vamos fazer as multiplicações:
Agora, somamos esses vetores:

Resposta

A matriz de mudança da base para a base é:
E o vetor expresso na base é:

Exercícios relacionados

Prove que a relação em definida por é uma relação de ordem. Esta ordem parcial é total? Justifique.
Sejam uma base, e .
(a) Mostre que é base.
(b) Calcule para que e sejam LD.
Sejam os vetores e .
b) É possível escrever o vetor como combinação linear de e ?
( 0,5 pontos) Determine e para que os vetores e sejam paralelos.