Escreva a matriz de mudança da base para a base e exprima o vetor em função de e , sabendo que e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer duas coisas:
Escrever a matriz de mudança da base para a base .
Expressar o vetor em termos dos vetores da base , ou seja, em .
Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e combinação linear. Vamos precisar entender como transformar coordenadas de uma base para outra e como combinar vetores usando essas bases.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz de mudança de base de para . Isso significa que queremos uma matriz que, quando multiplicada por um vetor na base , nos dê as coordenadas desse vetor na base .
Mas como fazemos isso? A gente sabe que os vetores da base já estão expressos na base . Então, a matriz de mudança de para será composta pelas coordenadas dos vetores de na base .
Então, montamos a matriz cujas colunas são na base :
Essa matriz é a matriz de mudança de base de para .
Passo 3
Agora, vamos expressar o vetor em termos da base .
Primeiro, substituímos cada pelas suas coordenadas na base :