Escreva a matriz de mudança da base E=(e1, e2, e3) para a base F=(f1, f2, f3) e exprima o vetor u=-4 f1+f2-f3 em função de e1, e2 e e3, sabendo que f1=(-3,1,1)E, f2=(1,-2,1)E e f3=(1,2,0)E.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer duas coisas:
  1. Escrever a matriz de mudança da base para a base .
  2. Expressar o vetor em termos dos vetores da base , ou seja, em .
Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e combinação linear. Vamos precisar entender como transformar coordenadas de uma base para outra e como combinar vetores usando essas bases.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz de mudança de base de P = -3 & 1 & 1 1 & -2 & 2 1 & 1 & 0 para . Isso significa que queremos uma matriz que, quando multiplicada por um vetor na base , nos dê as coordenadas desse vetor na base .
Mas como fazemos isso? A gente sabe que os vetores da base já estão expressos na base . Então, a matriz de mudança de para será composta pelas coordenadas dos vetores de na base .
Então, montamos a matriz cujas colunas são na base :
Essa matriz é a matriz de mudança de base de para .

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor u = -4 -3 1 1 + 1 1 -2 2 - 1 1 1 0 em termos da base -4 -3 1 1 = 12 -4 -4 .
Primeiro, substituímos cada 1 1 -2 2 = 1 -2 2 pelas suas coordenadas na base -1 1 1 0 = -1 -1 0 :
12 -4 -4 + 1 -2 2 + -1 -1 0 = 12 + 1 -1 -4 -2 -1 -4 + 2 + 0 = 12 -7 -2
Vamos fazer as multiplicações:
Agora, somamos esses vetores:

Resposta

A matriz de mudança da base P = -3 & 1 & 1 1 & -2 & 2 1 & 1 & 0 para a base u = 12 -7 -2 é:
E o vetor expresso na base é:

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