Escreva as matrizes abaixo na forma escalonada equivalente.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para escrever a matriz dada na forma escalonada equivalente. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com operações elementares de linha para transformar matrizes. Para isso, vamos precisar entender como aplicar essas operações para simplificar a matriz até que ela fique na forma escalonada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz escalonada. Uma matriz está na forma escalonada quando:
- A primeira entrada não-nula de cada linha está à direita da primeira entrada não-nula da linha anterior.
- Todas as entradas abaixo do pivô (a primeira entrada não-nula de uma linha) são zeros.
Nossa matriz inicial é:
Vamos começar organizando as linhas para facilitar o processo.
Passo 3
Observamos que a primeira linha começa com 0, o que pode complicar. Vamos trocar a Linha 1 com a Linha 2 para que a primeira posição da primeira linha seja 1 (um pivô). Isso simplifica os cálculos posteriores.
Matriz após a troca:
Passo 4
Agora, queremos zerar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso:
- Linha 3: Vamos substituir por Linha 3 - 3×Linha 1
- Linha 4: Vamos substituir por Linha 4 - 2×Linha 1
Calculando:
- Nova Linha 3:
,1 & 1 & 3 0 & 2 & 2 0 & -7 & -7 0 & -5 & -5 , - Nova Linha 4:
, ,
Matriz atualizada:
Passo 5
Agora, focamos na segunda coluna. O pivô na segunda linha já é 2, bom. Vamos zerar os elementos abaixo dele. Para isso:
- Linha 3: Vamos substituir por Linha 3 +
×Linha 21 & 1 & 3 0 & 2 & 2 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 - Linha 4: Vamos substituir por Linha 4 +
×Linha 2
Calculando:
- Nova Linha 3:
, , - Nova Linha 4:
, ,
Matriz atualizada:
Resposta
A forma escalonada equivalente da matriz dada é: