Escreva as matrizes abaixo na forma escalonada reduzida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz de 3 linhas e 4 colunas e o objetivo é colocá-la na forma escalonada reduzida. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de eliminação de Gauss-Jordan. Para isso, vamos precisar usar operações elementares nas linhas da matriz até chegar na forma desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz original:
0 & 1 & 3 & -2 2 & 1 & -4 & 3 2 & 3 & 2 & -1
O objetivo é organizar essa matriz de modo que, a cada linha abaixo da primeira, o primeiro número não-nulo (chamado de pivô) esteja mais à direita que o pivô da linha anterior, e que todos os pivôs sejam 1. Além disso, queremos que acima e abaixo de cada pivô resto 0.
Passo 3
Começamos tentando ter um 1 na primeira posição da primeira coluna. Contudo, na nossa matriz, o elemento 2 & 1 & -4 & 3 0 & 1 & 3 & -2 2 & 3 & 2 & -1 é 0. Então, vamos trocar a primeira linha com uma outra que tenha um número diferente de 0 nessa posição. Vamos trocar a primeira linha com a segunda linha:
Passo 4
Agora, vamos transformar o primeiro elemento da primeira linha em 1. Para isso, dividimos toda a primeira linha por 2:
1 & 12 & -2 & 32 0 & 1 & 3 & -2 2 & 3 & 2 & -1
Passo 5
Vamos zerar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna. Ou seja, queremos que os elementos na primeira coluna das linhas 2 e 3 sejam 0.
Para a terceira linha, fazemos:
Linha 3 = Linha 3 - 2 1 & 12 & -2 & 32 0 & 1 & 3 & -2 0 & 2 & 6 & -4 Linha 1
Passo 6
Agora, vamos focar na segunda coluna e garantir que o pivô seja 1 e que os elementos acima e abaixo dele sejam 0.
Já temos um 1 na segunda coluna da segunda linha. Vamos zerar o elemento acima desse pivô na primeira linha.
Linha 1 = Linha 1 - 1 & 0 & -3.5 & 2 0 & 1 & 3 & -2 0 & 2 & 6 & -4 Linha 2
Passo 7
Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna, na terceira linha.
Linha 3 = Linha 3 - 2 1 & 0 & -3.5 & 2 0 & 1 & 3 & -2 0 & 0 & 0 & 0 Linha 2
Passo 8
Observamos que a terceira linha ficou toda de 0, então podemos parar por aqui. A matriz já está na forma escalonada reduzida.