Escreva os números complexos abaixo na forma a + b i
overline(overline(pi + raiz(2) * i) * (raiz(2) + 2 * i))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para escrever um número complexo na forma . A gente vai trabalhar com números complexos e vamos precisar saber como lidar com conjugados. Vamos passo a passo para você entender direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é conjugado. O conjugado de um número complexo é . Isso é útil para simplificar expressões com complexos.

Passo 3

A expressão que temos é overline(overline(pi + raiz(2) * i) * (raiz(2) + 2 * i)). Vamos começar resolvendo o conjugado interno: . Aplicando a regra do conjugado, fica .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar esse resultado pelo outro número complexo da expressão: . Vamos usar a distributiva para multiplicar:

Passo 5

Calculando cada termo:
  1. (porque )
  2. (já que )

Passo 6

Agora, vamos somar todos os termos:

Passo 7

Juntando os termos reais e os imaginários:
Podemos fatorar raiz(2) e i:

Passo 8

Por fim, aplicamos o conjugado externo na expressão obtida:
Simplificando:

Resposta

A expressão na forma é:

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