Um imaginário puro é um complexo cuja parte real é nula. Determine o número real para que seja um imaginário puro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre números complexos e nos pede para encontrar o valor real de tal que a expressão seja um imaginário puro. Isso significa que a parte real desse número complexo deve ser zero. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão de números complexos e garantir que a parte real desapareça.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Para dividir números complexos, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar os numeradores e os denominadores:
Sabemos que , então:

Passo 4

Então, a expressão fica:
Para que esse número seja um imaginário puro, a parte real deve ser igual a zero.

Passo 5

Vamos igualar a parte real a zero:
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 6

Resolvendo para :

Resposta

O valor real de que satisfaz a condição é .

Exercícios relacionados

Seja a unidade imaginária, calcule , observe que as potências começam a se repetir a partir de . Verifique que vale a seguinte expressão para e . Aplique este resultado para calcular:
Escreva os números complexos abaixo na forma
Escreva os números complexos abaixo na forma
Escreva os números complexos abaixo na forma