Um imaginário puro é um complexo cuja parte real é nula. Determine o número real
para que
seja um imaginário puro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre números complexos e nos pede para encontrar o valor real de
tal que a expressão
seja um imaginário puro. Isso significa que a parte real desse número complexo deve ser zero. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão de números complexos e garantir que a parte real desapareça.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Para dividir números complexos, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar os numeradores e os denominadores:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Então, a expressão fica:
Para que esse número seja um imaginário puro, a parte real
deve ser igual a zero.
Passo 5
Vamos igualar a parte real a zero:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 6
Resolvendo para
:
Resposta
O valor real de
que satisfaz a condição é
.