Seja
um operador linear dado por
. Determine uma base de
em relação à qual a matriz do operador
é diagonal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear
definido por
. A pergunta é: qual é uma base de
na qual a matriz desse operador
fica diagonal?
Isso tá dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre mudança de base e matrizes diagonais. Para resolver isso, a gente vai precisar encontrar os autovetores de
, que vão formar essa base desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de
. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 3
A matriz do operador
é:
Então,
fica:
Passo 4
Calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir:
Então:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula quadrática:
Então, os autovalores são:
Passo 6
Agora, para cada autovalor, encontramos o autovetor correspondente resolvendo
.
Para
:
Resolvendo:
Escolhendo
, temos
. Então, um autovetor é
.
Para
:
Resolvendo:
Escolhendo
, temos
. Então, um autovetor é
.
Passo 7
Agora que temos os autovetores
e
, podemos formar a base desejada.
Então, a base de
na qual a matriz do operador
é diagonal é:
Resposta
Uma base de
na qual a matriz do operador
é diagonal é
.