Seja T: R^2 R^2 um operador linear dado por T(x, y)=(2 x-2 y,-x+3 y). Determine uma base de R^2 em relação à qual a matriz do operador T é diagonal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear definido por . A pergunta é: qual é uma base de na qual a matriz desse operador fica diagonal?
Isso tá dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre mudança de base e matrizes diagonais. Para resolver isso, a gente vai precisar encontrar os autovetores de , que vão formar essa base desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(T - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

A matriz do operador T = 2 & -2 -1 & 3 é:
T - lambda I = 2 - lambda & -2 -1 & 3 - lambda
Então, fica:

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz:
det(T - lambda I) = (2 - lambda)(3 - lambda) - (-2)(-1) = (2 - lambda)(3 - lambda) - 2
Vamos expandir:
(2 - lambda)(3 - lambda) = 6 - 5lambda + lambda^2
Então:
det(T - lambda I) = 6 - 5lambda + lambda^2 - 2 = lambda^2 - 5lambda + 4

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática:
lambda^2 - 5lambda + 4 = 0
Usando a fórmula quadrática:
lambda = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32
Então, os autovalores são:
lambda1 = 4 e lambda2 = 1

Passo 6

Agora, para cada autovalor, encontramos o autovetor correspondente resolvendo T - 4I = -2 & -2 -1 & -1 .
Para -2x - 2y = 0 Rightarrow x = -y :
T - I = 1 & -2 -1 & 2
Resolvendo:
x - 2y = 0 Rightarrow x = 2y
Escolhendo , temos . Então, um autovetor é .
Para :
Resolvendo:
Escolhendo , temos . Então, um autovetor é .

Passo 7

Agora que temos os autovetores -1 1 , 2 1 e , podemos formar a base desejada.
Então, a base de na qual a matriz do operador é diagonal é:

Resposta

Uma base de -1 1 na qual a matriz do operador 2 1 é diagonal é .

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