Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz dada e precisa calcular . Isso está no campo da álgebra linear, especificamente lidando com potências de matrizes. Para isso, vamos precisar entender como elevar uma matriz a potências altas de forma eficiente, possivelmente usando propriedades de matrizes triangulares.
Notamos que é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero.
Passo 3
Uma propriedade útil das matrizes triangulares superiores é que suas potências também são triangulares superiores, e os elementos na diagonal se elevam às potências correspondentes. Então, A^n = 1^n & * & * 0 & (-1)^n & * 0 & 0 & (-1)^n será:
Onde os asteriscos representam valores que não precisamos calcular para encontrar .
Passo 4
Vamos focar nos elementos da diagonal, já que eles nos darão a principal informação para 1^100 = 1 :
(-1)^100 = 1
Pois qualquer número elevado a uma potência par fica positivo, e 1 elevado a qualquer potência é 1.
Passo 5
Agora, observando a estrutura da matriz original, percebemos que os elementos fora da diagonal não afetam o valor na diagonal ao elevar a matriz a uma potência. Portanto, para , apenas os elementos diagonais mudam, e os outros permanecem conforme a estrutura triangular.
Passo 6
Assim, montamos A^100 = 1 & -2 times 1^99 & 8 times 1^99 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 com os elementos da diagonal elevados a 100 e os demais permanecendo na mesma posição: