Mostre que os vetores e geram o .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os vetores , e geram o espaço tridimensional . Isso significa que qualquer vetor em pode ser formado combinando esses três vetores de alguma forma. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que esses vetores geram . Isso quer dizer que, para qualquer vetor em , existe uma combinação linear dos vetores , e que resulta em . Em termos matemáticos, queremos encontrar escalares , e tais que:

Passo 3

Vamos montar essa equação com os vetores dados:
Isso resulta em um sistema de equações:

Passo 4

Agora, para que os vetores , e gerem , esse sistema deve ter uma solução única para qualquer . Isso acontece se a matriz dos coeficientes desse sistema tiver determinante diferente de zero, o que indica que os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .
Vamos construir a matriz dos coeficientes:

Passo 5

Vamos calcular o determinante dessa matriz :
Calculando os menores:
Agora, substituindo:

Passo 6

Como o determinante é diferente de zero, isso confirma que a matriz é não singular, ou seja, os vetores , e são linearmente independentes. Portanto, eles formam uma base para , o que significa que eles geram todo o espaço tridimensional.

Resposta

Sim, os vetores , e geram o espaço tridimensional .

Exercícios relacionados

Mostre que a norma em satisfaz as seguintes propriedades, se é um vetor de e um escalar:
a) se, e só se, ;
b) , onde é o módulo do número e é a norma de .
Encontre o valor de tal que:
a)
b)
Escreva o polinômio como combinação linear dos polinômios: e .
Expressar a equação em coordenadas retangulares.