Mostre que os vetores u=(1,2,3), v=(0,1,2) e w=(1,0,5) geram o R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os vetores , e geram o espaço tridimensional . Isso significa que qualquer vetor em pode ser formado combinando esses três vetores de alguma forma. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que esses vetores geram a cdot u + d cdot v + f cdot w = b . Isso quer dizer que, para qualquer vetor em , existe uma combinação linear dos vetores , e que resulta em . Em termos matemáticos, queremos encontrar escalares , e tais que:

Passo 3

Vamos montar essa equação com os vetores dados:
a cdot (1, 2, 3) + d cdot (0, 1, 2) + f cdot (1, 0, 5) = (b1, b2, b3)
Isso resulta em um sistema de equações:
a + 0d + f = b1 2a + d + 0f = b2 3a + 2d + 5f = b3

Passo 4

Agora, para que os vetores A = 1 & 0 & 1 2 & 1 & 0 3 & 2 & 5 , e gerem , esse sistema deve ter uma solução única para qualquer . Isso acontece se a matriz dos coeficientes desse sistema tiver determinante diferente de zero, o que indica que os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .
Vamos construir a matriz dos coeficientes:

Passo 5

Vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 1 cdot 1 & 0 2 & 5 - 0 cdot 2 & 0 3 & 5 + 1 cdot 2 & 1 3 & 2 :
1 & 0 2 & 5 = (1)(5) - (0)(2) = 5
Calculando os menores:
2 & 1 3 & 2 = (2)(2) - (1)(3) = 4 - 3 = 1
det(A) = 1 cdot 5 - 0 cdot (qualquer valor) + 1 cdot 1 = 5 + 0 + 1 = 6
Agora, substituindo:

Passo 6

Como o determinante é diferente de zero, isso confirma que a matriz é não singular, ou seja, os vetores , e são linearmente independentes. Portanto, eles formam uma base para , o que significa que eles geram todo o espaço tridimensional.

Resposta

Sim, os vetores , e geram o espaço tridimensional .

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