Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os vetores , e geram o espaço tridimensional . Isso significa que qualquer vetor em pode ser formado combinando esses três vetores de alguma forma. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que esses vetores geram . Isso quer dizer que, para qualquer vetor em , existe uma combinação linear dos vetores , e que resulta em . Em termos matemáticos, queremos encontrar escalares , e tais que:
Passo 3
Vamos montar essa equação com os vetores dados:
Isso resulta em um sistema de equações:
Passo 4
Agora, para que os vetores , e gerem , esse sistema deve ter uma solução única para qualquer . Isso acontece se a matriz dos coeficientes desse sistema tiver determinante diferente de zero, o que indica que os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .
Vamos construir a matriz dos coeficientes:
Passo 5
Vamos calcular o determinante dessa matriz :
Calculando os menores:
Agora, substituindo:
Passo 6
Como o determinante é diferente de zero, isso confirma que a matriz é não singular, ou seja, os vetores , e são linearmente independentes. Portanto, eles formam uma base para , o que significa que eles geram todo o espaço tridimensional.
Resposta
Sim, os vetores , e geram o espaço tridimensional .