Represente no plano complexo, todos os pontos que satisfazem a restrição
e
. Quais as distâncias dos pontos identificados para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para representarmos no plano complexo todos os pontos
que satisfazem as condições
e
. Depois, precisamos encontrar as distâncias desses pontos até
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos, como partes real e imaginária, conjugado de um número complexo e a fórmula da distância no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número complexo
como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária de
. O conjugado de
, denotado por
, é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
Aqui, multiplicamos
por
e simplificamos.
Passo 4
Vamos separar a parte real e a parte imaginária de
:
Então, a parte real é
e a parte imaginária é
.
Passo 5
A primeira condição do exercício é que a parte imaginária de
seja igual a 2:
Portanto, já sabemos que
.
Passo 6
A segunda condição é que o valor absoluto da parte real de
seja igual a 3:
Isso significa que:
Resolvendo essas equações:
Passo 7
Com os valores de
e
encontrados, temos dois pontos que satisfazem as condições:
- Quando
:
- Quando
:
Passo 8
Agora, vamos calcular a distância desses pontos
e
até
. A fórmula para a distância entre dois números complexos
e
é:
Passo 9
Calculando a distância para
:
Passo 10
Calculando a distância para
:
Resposta
As distâncias dos pontos identificados até
são ambas iguais a 5 unidades.