Represente no plano complexo, todos os pontos que satisfazem a restrição Im(1 + i * z) = 2 e |Re(1 + i * z_bar)| = 3. Quais as distâncias dos pontos identificados para za = -2 - i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para representarmos no plano complexo todos os pontos que satisfazem as condições e . Depois, precisamos encontrar as distâncias desses pontos até . Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos, como partes real e imaginária, conjugado de um número complexo e a fórmula da distância no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo como , onde é a parte real e é a parte imaginária de . O conjugado de , denotado por , é .

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Aqui, multiplicamos por e simplificamos.

Passo 4

Vamos separar a parte real e a parte imaginária de :
Então, a parte real é e a parte imaginária é .

Passo 5

A primeira condição do exercício é que a parte imaginária de seja igual a 2:
Portanto, já sabemos que .

Passo 6

A segunda condição é que o valor absoluto da parte real de seja igual a 3:
Isso significa que:
Resolvendo essas equações:

Passo 7

Com os valores de e encontrados, temos dois pontos que satisfazem as condições:
  1. Quando :
  1. Quando :

Passo 8

Agora, vamos calcular a distância desses pontos e até . A fórmula para a distância entre dois números complexos e é:

Passo 9

Calculando a distância para :

Passo 10

Calculando a distância para :

Resposta

As distâncias dos pontos identificados até são ambas iguais a 5 unidades.

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