Sejam A=(2,1,-1), B=(1,0,1) e C=(1,3,1) vértices de um triângulo.
(b) Caso não sejam colineares, estes pontos formam um triângulo. Neste caso, determine a altura relativa ao lado \overline{A B}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço: A=(2,1,-1), B=(1,0,1) e C=(1,3,1). A questão quer que a gente, caso esses pontos não estejam todos na mesma linha (ou seja, não sejam colineares), descubra qual é a altura do triângulo formado por esses pontos em relação ao lado AB. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço, especificamente envolvendo vetores e distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo. Vamos calcular os vetores AB e AC.
O vetor AB é dado pela diferença das coordenadas de B e A:
AB = B - A = (1-2, 0-1, 1-(-1)) = (-1, -1, 2)
O vetor AC é:
AC = C - A = (1-2, 3-1, 1-(-1)) = (-1, 2, 2)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre AB e AC. O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular ao plano formado por AB e AC, e cuja magnitude é igual à área do paralelogramo formado por esses dois vetores.
AB times AC = i & j & k -1 & -1 & 2 -1 & 2 & 2 = i((-1)(2) - (2)(2)) - j((-1)(2) - (2)(-1)) + k((-1)(2) - (-1)(-1))
= i(-2 - 4) - j(-2 + 2) + k(-2 - 1)
= -6i - 0j - 3k
= (-6, 0, -3)

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a magnitude desse produto vetorial, que nos dá duas vezes a área do triângulo. Além disso, precisamos da magnitude do vetor AB.
Magnitude de |AB times AC| = raiz(-6)^2 + 0^2 + (-3)^2 = raiz36 + 0 + 9 = raiz45 = 3raiz5 :
|AB| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6
Magnitude de :

Passo 5

A altura relativa ao lado AB é a distância do ponto C à reta AB. Podemos calcular isso usando a fórmula:
A

Resposta

A altura relativa ao lado é unidades.

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