Sejam A=(2,1,-1), B=(1,0,1) e C=(1,3,1) vértices de um triângulo.
(b) Caso não sejam colineares, estes pontos formam um triângulo. Neste caso, determine a altura relativa ao lado \overline{A B}.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço: A=(2,1,-1), B=(1,0,1) e C=(1,3,1). A questão quer que a gente, caso esses pontos não estejam todos na mesma linha (ou seja, não sejam colineares), descubra qual é a altura do triângulo formado por esses pontos em relação ao lado AB. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço, especificamente envolvendo vetores e distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo. Vamos calcular os vetores AB e AC.
O vetor AB é dado pela diferença das coordenadas de B e A:
O vetor AC é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial entre AB e AC. O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular ao plano formado por AB e AC, e cuja magnitude é igual à área do paralelogramo formado por esses dois vetores.
= i(-2 - 4) - j(-2 + 2) + k(-2 - 1)
= -6i - 0j - 3k
= (-6, 0, -3)
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a magnitude desse produto vetorial, que nos dá duas vezes a área do triângulo. Além disso, precisamos da magnitude do vetor AB.