Escreva, quando possivel, w=(3,4,5) como c.I. de:
(a) imath=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1).
(b) v1=(3,4,0), v2=(-4,3,0) e v3=(0,0,5).
© v1=(3,4,0), v2=(-4,3,0), v3=(0,0,5) e v4=(1,1,1).
(d) v1=(3,4,0), v2=(-4,3,0) e v3=(-1,7,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores dados em cada item. Combinação linear é quando a gente multiplica cada vetor por um coeficiente e soma tudo para chegar no vetor desejado. Vamos precisar usar álgebra linear para encontrar esses coeficientes.

Letra (a)

Passo 2

Primeiro, vamos considerar os vetores padrão:
imath = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)
Queremos encontrar números aimath + bj + ck = (3, 4, 5) tais que:

Passo 3

Vamos montar as equações:
a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0 = 3 Rightarrow a = 3
a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 0 = 4 Rightarrow b = 4
a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 1 = 5 Rightarrow c = 5

Passo 4

Agora, vamos usar os vetores:
v1 = (3, 4, 0), v2 = (-4, 3, 0), v3 = (0, 0, 5)
Queremos encontrar coeficientes av1 + bv2 + cv3 = (3, 4, 5) tais que:

Passo 5

Vamos montar as equações para cada componente:
3a - 4b + 0c = 3 (1)
4a + 3b + 0c = 4 (2)
0a + 0b + 5c = 5 (3)

Passo 6

Primeiro da equação (3):
5c = 5 Rightarrow c = 1
Agora, resolvemos as equações (1) e (2):
3a - 4b = 3 (1)
4a + 3b = 4 (2)
Multiplicamos a equação (1) por 3 e a equação (2) por 4 para eliminar 9a - 12b = 9 (1') :
16a + 12b = 16 (2')
25a = 25 Rightarrow a = 1
Somando as duas:
3(1) - 4b = 3 Rightarrow -4b = 0 Rightarrow b = 0
Substituindo na equação (1):

Passo 7

Agora, temos os vetores:
v1 = (3, 4, 0), v2 = (-4, 3, 0), v3 = (0, 0, 5), v4 = (1, 1, 1)
Queremos encontrar av1 + bv2 + cv3 + dv4 = (3, 4, 5) tais que:

Passo 8

Montamos as equações:
3a - 4b + 0c + d = 3 (1)
4a + 3b + 0c + d = 4 (2)
0a + 0b + 5c + d = 5 (3)

Passo 9

Vamos resolver a partir da equação (3):
5c + d = 5 Rightarrow d = 5 - 5c
Substituímos 3a - 4b + (5 - 5c) = 3 Rightarrow 3a - 4b - 5c = -2 (1') nas equações (1) e (2):
4a + 3b + (5 - 5c) = 4 Rightarrow 4a + 3b - 5c = -1 (2')
3a - 4b - 5c = -2 (1')
Agora, temos:
4a + 3b - 5c = -1 (2')
(4a + 3b - 5c) - (3a - 4b - 5c) = -1 - (-2)
Subtraímos (1’) de (2’):
a + 7b = 1 (4)
a = 1 - 7b
Agora, expressamos 3(1 - 7b) - 4b - 5c = -2 em função de 3 - 21b - 4b - 5c = -2 :
-25b - 5c = -5
Substituímos 5b + c = 1 em (1’):
c = 1 - 5b (5)
a = 1 - 7(0) = 1
c = 1 - 5(0) = 1
Dividindo por -5:
d = 5 - 5(1) = 0
Agora, temos e . Podemos escolher um valor para e encontrar os demais. Vamos escolher :

Passo 10

Por fim, temos os vetores:
v1 = (3, 4, 0), v2 = (-4, 3, 0), v3 = (-1, 7, 0)
Queremos ver se existe av1 + bv2 + cv3 = (3, 4, 5) tais que:

Passo 11

Montamos as equações:
3a - 4b - c = 3 (1)
4a + 3b + 7c = 4 (2)
0a + 0b + 0c = 5 (3)

Passo 12

Observe que a terceira equação é:
0 = 5
Isso é impossível! Não existe nenhum valor de que satisfaça essa equação.

Resposta

Não é possível expressar como combinação linear dos vetores e .

Exercícios relacionados