Suponha que u, v e w são três vetores li. Verifique se 3 u-2 v+w, 5 u-3 v+4 w e 2 u-v+3 w são l.i. Idem para u, v, w e 3 u-2 v+w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para verificar se dois conjuntos de vetores são linearmente independentes (li), dado que os vetores u, v e w já são lineares independentes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre combinações lineares e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o primeiro conjunto de vetores: 3u - 2v + w, 5u - 3v + 4w, 2u - v + 3w. Para verificar se esses vetores são lineares independentes, precisamos ver se a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero.

Passo 3

Vamos montar o sistema de equações. Suponha que existam escalares a, b e c tais que:
a(3u - 2v + w) + b(5u - 3v + 4w) + c(2u - v + 3w) = 0
Distribuindo os coeficientes:
(3a + 5b + 2c)u + (-2a -3b -c)v + (a + 4b + 3c)w = 0

Passo 4

Como u, v e w são lineares independentes, os coeficientes de cada vetor devem ser iguais a zero:
3a + 5b + 2c = 0 -2a -3b -c = 0 a + 4b + 3c = 0
Vamos resolver esse sistema para ver se a única solução é a = b = c = 0.

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação: -2a -3b -c = 0 Rightarrow c = -2a -3b
  2. Substituindo c na primeira equação:
    3a + 5b + 2(-2a -3b) = 0 Rightarrow 3a + 5b -4a -6b = 0 Rightarrow -a -b = 0 Rightarrow a = -b
  3. Substituindo a = -b na expressão de c:
    c = -2(-b) -3b = 2b -3b = -b
  4. Agora, substituindo a = -b e c = -b na terceira equação:
    -b + 4b + 3(-b) = 0 Rightarrow -b +4b -3b = 0 Rightarrow 0 = 0
    Isso significa que temos infinitas soluções além de a = b = c = 0, o que indica dependência linear.

Passo 6

Agora, vamos analisar o segundo conjunto de vetores: u, v, w, 3u - 2v + w. Aqui, temos quatro vetores em um espaço que originalmente tinha três vetores independentes. Normalmente, não podemos ter mais vetores independentes do que o espaço permite.

Passo 7

Além disso, já vemos que o último vetor 3u - 2v + w pode ser expresso como uma combinação linear dos três primeiros, o que obviamente o torna dependente. Portanto, esse conjunto também não é linearmente independente.

Resposta

O primeiro conjunto de vetores 3u - 2v + w, 5u - 3v + 4w, 2u - v + 3w não é linearmente independente. Já o segundo conjunto u, v, w, 3u - 2v + w também não é linearmente independente.

Exercícios relacionados