Suponha que e são três vetores li. Verifique se são l.i. Idem para e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para verificar se dois conjuntos de vetores são linearmente independentes (li), dado que os vetores e já são lineares independentes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre combinações lineares e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o primeiro conjunto de vetores: . Para verificar se esses vetores são lineares independentes, precisamos ver se a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero.
Passo 3
Vamos montar o sistema de equações. Suponha que existam escalares , e tais que:
Distribuindo os coeficientes:
Passo 4
Como , e são lineares independentes, os coeficientes de cada vetor devem ser iguais a zero:
Vamos resolver esse sistema para ver se a única solução é a = b = c = 0.
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: -2a -3b -c = 0Rightarrowc = -2a -3b
Substituindo c na primeira equação: 3a + 5b + 2(-2a -3b) = 0Rightarrow3a + 5b -4a -6b = 0Rightarrow-a -b = 0Rightarrowa = -b
Substituindo a = -b na expressão de c: c = -2(-b) -3b = 2b -3b = -b
Agora, substituindo a = -b e c = -b na terceira equação: -b + 4b + 3(-b) = 0Rightarrow-b +4b -3b = 0Rightarrow0 = 0
Isso significa que temos infinitas soluções além de a = b = c = 0, o que indica dependência linear.
Passo 6
Agora, vamos analisar o segundo conjunto de vetores: u, v, w, 3u - 2v + w. Aqui, temos quatro vetores em um espaço que originalmente tinha três vetores independentes. Normalmente, não podemos ter mais vetores independentes do que o espaço permite.
Passo 7
Além disso, já vemos que o último vetor 3u - 2v + w pode ser expresso como uma combinação linear dos três primeiros, o que obviamente o torna dependente. Portanto, esse conjunto também não é linearmente independente.
Resposta
O primeiro conjunto de vetores 3u - 2v + w, 5u - 3v + 4w, 2u - v + 3w não é linearmente independente. Já o segundo conjunto u, v, w, 3u - 2v + w também não é linearmente independente.