Exiba um exemplo com vetores u, v e w l.d. e os pares u, v,u, w e v, w todos
l.i.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar três vetores, chamados de u, v e w, que sejam linearmente dependentes (l.d.). Isso significa que pelo menos um desses vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Além disso, cada par desses vetores ( u, v, u, w e v, w) deve ser linearmente independente (l.i.), ou seja, nenhum vetor de um par pode ser escrito como múltiplo do outro. Para resolver isso, vamos definir vetores que atendam a essas condições usando coordenadas simples.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o vetor u. Vamos definir:
u = 1 0 0
Este vetor aponta na direção do eixo x.

Passo 3

Agora, vamos escolher o vetor v. Vamos definir:
v = 0 1 0
Este vetor aponta na direção do eixo y.

Passo 4

Para que os três vetores sejam linearmente dependentes, o terceiro vetor w deve ser uma combinação linear de u e v. Vamos definir:
w = u + v = 1 1 0
Aqui, w é a soma de u e v, garantindo que w dependa de u e v.

Passo 5

Vamos verificar se os pares de vetores são linearmente independentes:
  • Para u, v: Nenhum dos vetores é múltiplo do outro, então são l.i.
  • Para u, w: w não é múltiplo de u, pois acrescenta uma componente na direção y.
  • Para v, w: Similarmente, w não é múltiplo de v, pois acrescenta uma componente na direção x.

Resposta

Um exemplo de vetores que satisfaz as condições é:
u = 1 0 0 , v = 0 1 0 , w = 1 1 0
Aqui, u, v e w são linearmente dependentes, e cada par u, v, u, w e v, w é linearmente independente.

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