Exiba um exemplo com vetores e l.d. e os pares e todos
l.i.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar três vetores, chamados de , e , que sejam linearmente dependentes (l.d.). Isso significa que pelo menos um desses vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Além disso, cada par desses vetores (, e ) deve ser linearmente independente (l.i.), ou seja, nenhum vetor de um par pode ser escrito como múltiplo do outro. Para resolver isso, vamos definir vetores que atendam a essas condições usando coordenadas simples.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher o vetor . Vamos definir:
Este vetor aponta na direção do eixo x.
Passo 3
Agora, vamos escolher o vetor v. Vamos definir:
v = 0 1 0
Este vetor aponta na direção do eixo y.
Passo 4
Para que os três vetores sejam linearmente dependentes, o terceiro vetor w deve ser uma combinação linear de u e v. Vamos definir:
w = u + v = 1 1 0
Aqui, w é a soma de u e v, garantindo que w dependa de u e v.
Passo 5
Vamos verificar se os pares de vetores são linearmente independentes:
Para u, v: Nenhum dos vetores é múltiplo do outro, então são l.i.
Para u, w: w não é múltiplo de u, pois acrescenta uma componente na direção y.
Para v, w: Similarmente, w não é múltiplo de v, pois acrescenta uma componente na direção x.
Resposta
Um exemplo de vetores que satisfaz as condições é:
u = 1 0 0 , v = 0 1 0 , w = 1 1 0
Aqui, u, v e w são linearmente dependentes, e cada par u, v, u, w e v, w é linearmente independente.