Sejam
e
subespaços vetoriais de um espaço vetorial
sobre
. Mostre que
c) Se
, então
.
c) Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços vetoriais,
e
, de um espaço vetorial
sobre o campo
. O enunciado diz que se a soma desses dois subespaços
é igual a
, então devemos mostrar que
contém
(ou seja,
). Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra linear, como a definição de soma de subespaços e a inclusão de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a soma de dois subespaços. A soma
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Matematicamente, isso é:
Passo 3
O enunciado nos diz que
. Isso significa que todo vetor que pode ser formado somando um vetor de
com um vetor de
já está em
. Ou seja, adicionar
a
não “expande”
.
Passo 4
Queremos mostrar que
contém
, ou seja, todo vetor de
também está em
. Vamos pegar um vetor qualquer
em
e mostrar que
pertence a
.
Passo 5
Como
está em
, podemos escrevê-lo como
, onde
é o vetor nulo em
(já que
é um subespaço e contém o vetor nulo). Portanto:
Aqui,
e
. Então, pela definição da soma
,
pertence a
.
Passo 6
Mas sabemos que
. Portanto, se
pertence a
, e
é igual a
, então
também pertence a
.
Passo 7
Como escolhemos um vetor arbitrário
em
e mostramos que
está em
, concluímos que todos os vetores de
estão em
. Assim,
está contido em
.