Sejam U e V subespaços vetoriais de um espaço vetorial W sobre F. Mostre que
c) Se U+V=U, então U supset V.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços vetoriais, e , de um espaço vetorial sobre o campo . O enunciado diz que se a soma desses dois subespaços é igual a , então devemos mostrar que contém (ou seja, ). Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra linear, como a definição de soma de subespaços e a inclusão de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a soma de dois subespaços. A soma U + V = u + v mid u in U, v in V é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de . Matematicamente, isso é:

Passo 3

O enunciado nos diz que . Isso significa que todo vetor que pode ser formado somando um vetor de com um vetor de já está em . Ou seja, adicionar a não “expande” .

Passo 4

Queremos mostrar que contém , ou seja, todo vetor de também está em . Vamos pegar um vetor qualquer em e mostrar que pertence a .

Passo 5

Como v = 0 + v está em , podemos escrevê-lo como , onde é o vetor nulo em (já que é um subespaço e contém o vetor nulo). Portanto:
Aqui, e . Então, pela definição da soma , pertence a .

Passo 6

Mas sabemos que . Portanto, se pertence a , e é igual a , então também pertence a .

Passo 7

Como escolhemos um vetor arbitrário em e mostramos que está em , concluímos que todos os vetores de estão em . Assim, está contido em .

Resposta

Exercícios relacionados