Seja A=(a, b, c) mid a, b, c in1,2,3,4 com a relação de ordem (a, b, c) preccurlyeq(x, y, z) long<=ftrightarrow (a <= x wed>= b <= y wed>= c <= z). A é totalmente ordenado? Justifique.

Passo 1

Vamos analisar o exercício: Temos o conjunto com uma relação de ordem definida por se e somente se e e . A pergunta é: é totalmente ordenado? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de ordem total e verificar se essa relação se aplica a todos os elementos de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma relação de ordem total. Uma relação de ordem é total se, para quaisquer dois elementos quaisquer e do conjunto, ou ou é verdadeira. Isso significa que qualquer par de elementos pode ser comparado de maneira que um é sempre menor ou igual ao outro segundo a relação definida.

Passo 3

Agora, vamos analisar a relação de ordem dada em : se e e . Essa é uma forma de ordem parcial, onde nem todos os elementos podem ser comparados diretamente, apenas aqueles que satisfazem todas as três condições simultaneamente.

Passo 4

Para determinar se é totalmente ordenado, precisamos verificar se todos os pares de elementos em são comparáveis sob essa relação de ordem. Ou seja, para qualquer dois elementos e em , precisamos que ou ou seja verdadeiro.

Passo 5

Vamos considerar dois elementos específicos de para testar essa condição. Por exemplo, seja e .
  • Verificando se :
    • (verdadeiro)
    • (falso)
    • (verdadeiro)
    Como nem todas as condições são verdadeiras, é falso.
  • Verificando se :
    • (falso)
    • (verdadeiro)
    • (verdadeiro)
    Novamente, nem todas as condições são verdadeiras, então também é falso.

Passo 6

Como encontramos um par de elementos e em que não são comparáveis sob a relação definida ( e são ambos falsos), isso significa que nem todos os pares de elementos em são comparáveis.

Resposta

Não, o conjunto não é totalmente ordenado. Isso porque existem pares de elementos, como e , que não são comparáveis sob a relação de ordem definida . Portanto, não satisfaz a condição de que todo par de elementos deve ser comparável, caracterizando uma ordem parcial e não uma ordem total.

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