Seja
com a relação de ordem
.
é totalmente ordenado? Justifique.
Passo 1
Vamos analisar o exercício: Temos o conjunto
com uma relação de ordem definida por
se e somente se
e
e
. A pergunta é:
é totalmente ordenado? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de ordem total e verificar se essa relação se aplica a todos os elementos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma relação de ordem total. Uma relação de ordem é total se, para quaisquer dois elementos quaisquer
e
do conjunto, ou
ou
é verdadeira. Isso significa que qualquer par de elementos pode ser comparado de maneira que um é sempre menor ou igual ao outro segundo a relação definida.
Passo 3
Agora, vamos analisar a relação de ordem dada em
:
se
e
e
. Essa é uma forma de ordem parcial, onde nem todos os elementos podem ser comparados diretamente, apenas aqueles que satisfazem todas as três condições simultaneamente.
Passo 4
Para determinar se
é totalmente ordenado, precisamos verificar se todos os pares de elementos em
são comparáveis sob essa relação de ordem. Ou seja, para qualquer dois elementos
e
em
, precisamos que ou
ou
seja verdadeiro.
Passo 5
Vamos considerar dois elementos específicos de
para testar essa condição. Por exemplo, seja
e
.
-
Verificando se
: -
(verdadeiro) -
(falso) -
(verdadeiro)
Como nem todas as condições são verdadeiras,é falso. -
-
Verificando se
: -
(falso) -
(verdadeiro) -
(verdadeiro)
Novamente, nem todas as condições são verdadeiras, entãotambém é falso. -
Passo 6
Como encontramos um par de elementos
e
em
que não são comparáveis sob a relação definida (
e
são ambos falsos), isso significa que nem todos os pares de elementos em
são comparáveis.
Resposta
Não, o conjunto
não é totalmente ordenado. Isso porque existem pares de elementos, como
e
, que não são comparáveis sob a relação de ordem definida
. Portanto,
não satisfaz a condição de que todo par de elementos deve ser comparável, caracterizando uma ordem parcial e não uma ordem total.