Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
{2^n}/{5^{n+2}}_{n=1}^{\infty}.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre sequências. O enunciado pede para escrever os primeiros cinco termos da sequência {2^n}/{5^{n+2}}_{n=1}^{\infty} e determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, também precisamos achar o limite da sequência. Para isso, vamos precisar entender como calcular termos de uma sequência e aplicar conceitos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os primeiros cinco termos da sequência. A fórmula geral da sequência é:
Vamos substituir por 1, 2, 3, 4 e 5.

Passo 3

Para :

Passo 4

Para :

Passo 5

Para :

Passo 6

Para :

Passo 7

Para :

Passo 8

Agora que temos os primeiros cinco termos, vamos verificar se a sequência converge ou diverge. Observando os termos que calculamos, vemos que eles estão ficando cada vez menores e se aproximando de zero.

Passo 9

Para confirmar matematicamente, vamos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito:
Como , sabemos que:
Portanto:

Resposta

Os primeiros cinco termos da sequência são: 0,016; 0,0064; 0,00256; 0,001024; 0,0004096. A sequência converge e o seu limite é 0.

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