Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para escrever os primeiros cinco termos da sequência definida por
. O conteúdo envolvido aqui é funções logarítmicas e análise de limites para determinar a convergência ou divergência da sequência. Para resolver, vamos precisar calcular os valores da expressão para os primeiros cinco valores de
e depois analisar o comportamento da sequência conforme
cresce indefinidamente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os primeiros cinco termos da sequência substituindo
de 1 a 5 na expressão dada.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora que temos os primeiros cinco termos, vamos analisar se a sequência converge ou diverge. Para isso, precisamos verificar o comportamento da expressão dentro do logaritmo conforme
tende ao infinito.
A expressão é:
Vamos simplificar a fração dentro do logaritmo para facilitar a análise do limite.
Passo 4
Simplificando a fração:
Dividindo numerador e denominador por
:
À medida que
tende ao infinito, os termos
e
tendem a zero. Portanto, a expressão simplifica para:
Passo 5
Agora, aplicamos o logaritmo ao limite da fração:
Como o limite existe e é finito, concluímos que a sequência converge.
Resposta
Os primeiros cinco termos da sequência são aproximadamente:
A sequência converge e o seu limite é
.
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Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
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Escreva os quatro primeiros termos das séries seguintes. Determine a convergência e caso sejam convergentes, determine a sua soma.
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