Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
ln((n^2 + 1)/((n + 2)(n + 3))) para n = 1 até infinito.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para escrever os primeiros cinco termos da sequência definida por
ln((n^2 + 1)/((n + 2)(n + 3))) para n = 1 até infinito. O conteúdo envolvido aqui é funções logarítmicas e análise de limites para determinar a convergência ou divergência da sequência. Para resolver, vamos precisar calcular os valores da expressão para os primeiros cinco valores de e depois analisar o comportamento da sequência conforme cresce indefinidamente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os primeiros cinco termos da sequência substituindo de 1 a 5 na expressão dada.
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 3

Agora que temos os primeiros cinco termos, vamos analisar se a sequência converge ou diverge. Para isso, precisamos verificar o comportamento da expressão dentro do logaritmo conforme tende ao infinito.
A expressão é:
Vamos simplificar a fração dentro do logaritmo para facilitar a análise do limite.

Passo 4

Simplificando a fração:
Dividindo numerador e denominador por :
À medida que tende ao infinito, os termos e tendem a zero. Portanto, a expressão simplifica para:

Passo 5

Agora, aplicamos o logaritmo ao limite da fração:
Como o limite existe e é finito, concluímos que a sequência converge.

Resposta

Os primeiros cinco termos da sequência são aproximadamente:
A sequência converge e o seu limite é .

Exercícios relacionados

Verifique se são convergentes: sumn=3^+infty 2^-n+5^-n
Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
{2^n}/{5^{n+2}}_{n=1}^{\infty}.
Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista sem usar a regra de La) lim x 3^-(2 x+1x-3)
Escreva os quatro primeiros termos das séries seguintes. Determine a convergência e caso sejam convergentes, determine a sua soma.
sumn=1^infty 17^n.