Verifique se são convergentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificarmos se a série
converge ou não. Isso está relacionado ao estudo de Séries Infinitas, mais especificamente às Séries Geométricas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e quais são as condições para que ela seja convergente.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série original em duas séries distintas:
Isso facilita a análise, pois podemos verificar a convergência de cada uma individualmente.
Passo 3
Vamos analisar a primeira série:
.
Uma série geométrica tem a forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão comum entre os termos. Uma série geométrica converge se
e diverge se
.
No nosso caso, a série
pode ser reescrita como:
Aqui,
e
.
Como
, essa série converge.
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda série:
.
Da mesma forma, reescrevemos:
Aqui,
e
.
Novamente, como
, essa série também converge.
Passo 5
Como ambas as séries
e
convergem, a soma delas também converge. Isso porque a soma de duas séries convergentes resulta em uma série convergente.
Resposta
A série
é convergente.
Exercícios relacionados
Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
.
Verifique se são convergentes:
Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
.
Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista sem usar a regra de La)