Verifique se são convergentes: sumn=3^+infty 2^-n+5^-n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificarmos se a série converge ou não. Isso está relacionado ao estudo de Séries Infinitas, mais especificamente às Séries Geométricas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e quais são as condições para que ela seja convergente.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série original em duas séries distintas:
sumn=3^+infty 2^-n + sumn=3^+infty 5^-n
Isso facilita a análise, pois podemos verificar a convergência de cada uma individualmente.

Passo 3

Vamos analisar a primeira série: sumn=3^+infty (12)^n .
Uma série geométrica tem a forma , onde é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos. Uma série geométrica converge se e diverge se .
No nosso caso, a série pode ser reescrita como:
Aqui, e .
Como , essa série converge.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda série: sumn=3^+infty (15)^n .
Da mesma forma, reescrevemos:
Aqui, e .
Novamente, como , essa série também converge.

Passo 5

Como ambas as séries e convergem, a soma delas também converge. Isso porque a soma de duas séries convergentes resulta em uma série convergente.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados

Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
{2^n}/{5^{n+2}}_{n=1}^{\infty}.
Verifique se são convergentes: sumn=2^+infty nln n
Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
ln((n^2 + 1)/((n + 2)(n + 3))) para n = 1 até infinito.
Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista sem usar a regra de La) lim x 3^-(2 x+1x-3)