Resolva a desigualdade |x^2 - 9| <= |2x - 6|. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade . Aqui estamos lidando com desigualdades envolvendo valores absolutos, que geralmente envolvem entender quando uma expressão está entre dois valores. Vamos precisar usar propriedades de valores absolutos e resolver algumas equações quadráticas e lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as expressões dentro dos valores absolutos. Observamos que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
E pode ser fatorado como:

Passo 3

Agora, a desigualdade fica:
Podemos dividir ambos os lados por , mas precisamos considerar que , pois isso tornaria o denominador zero. Portanto, temos duas situações: quando é positivo e quando é negativo.

Passo 4

Caso 1: (ou seja, )
Nesse caso, podemos dividir ambos os lados por :
Isso significa que está entre -2 e 2:
Subtraindo 3 de todas as partes:
Mas lembramos que nesse caso , então não há solução aqui.

Passo 5

Caso 2: (ou seja, )
Aqui, ao dividir por , a desigualdade muda de sentido:
Isso significa que está fora do intervalo entre -2 e 2:
Resolvendo cada parte:
Mas lembrando que , a segunda parte combina com , então temos .

Passo 6

Agora, combinando os resultados dos casos:
  • Do primeiro caso, não há soluções.
  • Do segundo caso, temos e , o que resulta em .

Resposta

A solução da desigualdade é . Na reta real, isso é representado pelo intervalo fechado em -5 e aberto em 3:
Onde os colchetes indicam inclusão e os parênteses exclusão nos extremos do intervalo.

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{raiz(5)}_{n=1}^{\infty}.
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