Verifique se são convergentes: sumn=2^+infty nln n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a série sumn=2^+infty nln n é convergente ou divergente. Estamos lidando com séries infinitas e vamos precisar usar alguns testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser convergente ou divergente. Uma série infinita é convergente se a soma dos seus termos se aproxima de um número finito quando somamos infinitos termos. Caso contrário, dizemos que a série é divergente.

Passo 3

Agora, vamos analisar os termos da nossa série: nln n. Para séries positivas, como essa, um método útil é o Teste da Divergência, que verifica o limite do termo geral.

Passo 4

Aplicando o Teste da Divergência, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty nln n
Vamos calcular esse limite.

Passo 5

Observando o limite, vemos que tanto o numerador ( n) quanto o denominador ( ln n) tendem ao infinito quando n cresce. Mas, qual cresce mais rápido?
Sabemos que funções lineares como n crescem muito mais rápido do que funções logarítmicas como ln n. Portanto:
limn to infty nln n = infty

Passo 6

Como o limite do termo geral é infinito, que não é igual a zero, o Teste da Divergência nos diz que a série sumn=2^+infty nln n não converge.

Resposta

A série sumn=2^+infty nln n é divergente.

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