Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a série é convergente ou divergente. Estamos lidando com séries infinitas e vamos precisar usar alguns testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser convergente ou divergente. Uma série infinita é convergente se a soma dos seus termos se aproxima de um número finito quando somamos infinitos termos. Caso contrário, dizemos que a série é divergente.
Passo 3
Agora, vamos analisar os termos da nossa série: . Para séries positivas, como essa, um método útil é o Teste da Divergência, que verifica o limite do termo geral.
Passo 4
Aplicando o Teste da Divergência, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Vamos calcular esse limite.
Passo 5
Observando o limite, vemos que tanto o numerador () quanto o denominador () tendem ao infinito quando cresce. Mas, qual cresce mais rápido?
Sabemos que funções lineares como crescem muito mais rápido do que funções logarítmicas como . Portanto:
Passo 6
Como o limite do termo geral é infinito, que não é igual a zero, o Teste da Divergência nos diz que a série não converge.