Escreva os quatro primeiros termos das séries seguintes. Determine a convergência e caso sejam convergentes, determine a sua soma.
.
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver um exercício sobre séries! O que a gente precisa fazer aqui é:
- Escrever os quatro primeiros termos da série
. - Verificar se essa série converge.
- Se convergir, calcular a soma dela.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os quatro primeiros termos da série. A série é
, isso significa que a gente substitui
por 1, 2, 3 e 4 para encontrar os termos:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Então, os quatro primeiros termos são
,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa série converge. Perceba que a série é uma série geométrica, que tem a forma geral
, onde
é o primeiro termo e
é a razão comum.
No nosso caso:
A qualidade importante para saber se uma série geométrica converge é o valor de
. Se
, a série converge e podemos calcular a soma.
Aqui,
, que claramente é menor que 1. Então, a série converge.
Passo 4
Como a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Substituindo os valores que temos:
Resposta
Os quatro primeiros termos da série são
,
,
e
. A série converge e a soma dela é
.
Exercícios relacionados
Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista sem usar a regra de La)
Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
.
Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
.
Mostre que
tem uma solução no intervalo
.