Escreva os quatro primeiros termos das séries seguintes. Determine a convergência e caso sejam convergentes, determine a sua soma.
sumn=1^infty 17^n.

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício sobre séries! O que a gente precisa fazer aqui é:
  1. Escrever os quatro primeiros termos da série .
  2. Verificar se essa série converge.
  3. Se convergir, calcular a soma dela.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os quatro primeiros termos da série. A série é , isso significa que a gente substitui por 1, 2, 3 e 4 para encontrar os termos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, os quatro primeiros termos são , , e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa série converge. Perceba que a série é uma série geométrica, que tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão comum.
No nosso caso:
A qualidade importante para saber se uma série geométrica converge é o valor de . Se , a série converge e podemos calcular a soma.
Aqui, , que claramente é menor que 1. Então, a série converge.

Passo 4

Como a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
S = a1 - r
Substituindo os valores que temos:
S = 171 - 17 = 1767 = 16

Resposta

Os quatro primeiros termos da série são , , e . A série converge e a soma dela é .

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Mostre que
tg(x) + 1 = 16 x^2
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