Escreva os quatro primeiros termos das séries seguintes. Determine a convergência e caso sejam convergentes, determine a sua soma.
sumn=1^infty 7^n+3^n5^n.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre séries infinitas. Precisamos escrever os quatro primeiros termos da série , verificar se essa série converge e, se sim, encontrar a sua soma. Para isso, vamos usar conceitos de progressões geométricas e soma de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os quatro primeiros termos da série. Para isso, substituímos na expressão .

Passo 3

Calculando para 7^1 + 3^15^1 = 7 + 35 = 105 = 2 :

Passo 4

Calculando para 7^2 + 3^25^2 = 49 + 925 = 5825 = 2,32 :

Passo 5

Calculando para 7^3 + 3^35^3 = 343 + 27125 = 370125 = 2,96 :

Passo 6

Calculando para 7^4 + 3^45^4 = 2401 + 81625 = 2482625 = 3,9712 :

Passo 7

Agora, vamos analisar a convergência da série. Podemos separar a série original em duas séries:
sumn=1^infty 7^n5^n + sumn=1^infty 3^n5^n = sumn=1^infty (75)^n + sumn=1^infty (35)^n
Cada uma dessas séries é uma progressão geométrica (PG) com razão .

Passo 8

Para uma PG , a série converge se e a soma é .

Passo 9

Analisando a primeira série r = 75 > 1 Rightarrow A série diver>= :
é
Como uma das séries diverge, a série original também não converge.

Resposta

A série não converge.

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