Escreva os quatro primeiros termos das séries seguintes. Determine a convergência e caso sejam convergentes, determine a sua soma.
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre séries infinitas. Precisamos escrever os quatro primeiros termos da série
, verificar se essa série converge e, se sim, encontrar a sua soma. Para isso, vamos usar conceitos de progressões geométricas e soma de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os quatro primeiros termos da série. Para isso, substituímos
na expressão
.
Passo 3
Calculando para
:
Passo 4
Calculando para
:
Passo 5
Calculando para
:
Passo 6
Calculando para
:
Passo 7
Agora, vamos analisar a convergência da série. Podemos separar a série original em duas séries:
Cada uma dessas séries é uma progressão geométrica (PG) com razão
.
Passo 8
Para uma PG
, a série converge se
e a soma é
.
Passo 9
Analisando a primeira série
:
Como uma das séries diverge, a série original também não converge.
Resposta
A série
não converge.
Exercícios relacionados
Seja
funções tais que
. Então
para todo
.
Mostre que a equação
tem exatamente uma raiz real.
Verifique se são convergentes:
Prove as identidades: