Escreva os seguintes números complexos na forma polar:
iii)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um número complexo, que é o , e o desafio é escrevê-lo na forma polar. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre números complexos e como converter deles para a forma polar, que envolve encontrar o módulo (ou magnitude) e o argumento (ou ângulo) do número.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o módulo do número complexo . O módulo ( ) de um número complexo é dado pela fórmula:
No nosso caso, (porque não tem parte real) e . Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o argumento ( ) do número complexo. O argumento é o ângulo que o número forma com o eixo real no plano complexo. A fórmula para é:
Mas aqui temos uma observação importante: como , não podemos usar diretamente essa fórmula porque fica indefinido. Nesse caso, sabemos que se o número está no eixo imaginário positivo (como ), o ângulo é radianos ou 90 graus.

Resposta

Portanto, o número complexo na forma polar é:
Ou, de forma mais compacta usando a notação polar:

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Prove que o operador definido por onde e , é linear.
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i)
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(a) e