Prove as seguintes igualdades:
i) 2 + i = raiz(5) * e^(i * arctan(1/2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para provar que o número complexo é igual a . Isso envolve entender como representar números complexos na forma polar. Para isso, vamos precisar calcular o módulo (ou magnitude) e o argumento (ou ângulo) do número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o módulo de . O módulo de um número complexo é dado por:
No nosso caso, e . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o argumento de , que é o ângulo que o número complexo forma com o eixo real no plano complexo. Esse ângulo pode ser encontrado usando a função arco-tangente:
Substituindo e :

Passo 4

Com o módulo e o argumento calculados, podemos escrever o número complexo na forma polar:

Resposta

Portanto, provamos que:

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