Um operador real
é dito
Prove que o operador
definido por
onde
e
, é linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que um operador
definido por
, onde
e as funções
são contínuas no intervalo
, é linear. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear e Análise Matemática, especificamente sobre operadores lineares. Para resolver, vamos usar a definição de operador linear e verificar se
satisfaz as propriedades de linearidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador ser linear. Um operador
é linear se, para quaisquer funções
em
e quaisquer escalares
em
, a seguinte igualdade vale:
Isso basicamente significa que o operador preserva combinações lineares das funções.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o operador
na combinação linear
:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 4
Primeiro, calculemos
:
Isso porque a derivada é linear.
Passo 5
Em seguida, calculamos
:
Aqui, multiplicamos pela função
, que é uma função conhecida e contínua.
Passo 6
Por último, temos o termo
:
Novamente, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação.
Passo 7
Juntando todos os termos calculados:
Agora, podemos agrupar os termos com
e
:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 8
Isso mostra que o operador
satisfaz a propriedade de linearidade, pois aplicando
na combinação linear das funções dá a mesma coisa que a combinação linear das aplicações de
em cada função individualmente.
Resposta
O operador
é linear.
Exercícios relacionados
Prove as seguintes igualdades:
iii)
iii)
Usando a forma polar dos números complexo correspondente, ache:
iii)
iii)
Se
e
são tais que o wronskiano delas vem dada por
, determine se elas são LI
Escreva os seguintes números complexos na forma polar:
iii)
iii)