Um operador real é dito
Prove que o operador definido por onde e , é linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que um operador definido por , onde e as funções são contínuas no intervalo , é linear. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear e Análise Matemática, especificamente sobre operadores lineares. Para resolver, vamos usar a definição de operador linear e verificar se satisfaz as propriedades de linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador ser linear. Um operador é linear se, para quaisquer funções em e quaisquer escalares em , a seguinte igualdade vale:
Isso basicamente significa que o operador preserva combinações lineares das funções.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o operador na combinação linear :
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculemos :
Isso porque a derivada é linear.

Passo 5

Em seguida, calculamos :
Aqui, multiplicamos pela função , que é uma função conhecida e contínua.

Passo 6

Por último, temos o termo :
Novamente, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação.

Passo 7

Juntando todos os termos calculados:
Agora, podemos agrupar os termos com e :
Isso pode ser reescrito como:

Passo 8

Isso mostra que o operador satisfaz a propriedade de linearidade, pois aplicando na combinação linear das funções dá a mesma coisa que a combinação linear das aplicações de em cada função individualmente.

Resposta

O operador é linear.

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