Um operador real L: A B é dito
L(alpha1 y1(x)+alpha2 y2(x))=alpha1 L(y1(x))+alpha2 L(y2(x)), forall y1, y2 in A forall alpha1, alpha2 in R
Prove que o operador L: C^2(a, b) C(a, b) definido por L=D^2+a1(x) D+a0(x) ; onde D=dd x e a0(x), a1(x) ldots, an(x) in C(a, b), é linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que um operador definido por , onde e as funções são contínuas no intervalo , é linear. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear e Análise Matemática, especificamente sobre operadores lineares. Para resolver, vamos usar a definição de operador linear e verificar se satisfaz as propriedades de linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador ser linear. Um operador L(alpha1 y1(x) + alpha2 y2(x)) = alpha1 L(y1(x)) + alpha2 L(y2(x)) é linear se, para quaisquer funções em e quaisquer escalares em , a seguinte igualdade vale:
Isso basicamente significa que o operador preserva combinações lineares das funções.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o operador L(alpha1 y1(x) + alpha2 y2(x)) = D^2(alpha1 y1 + alpha2 y2) + a1(x) D(alpha1 y1 + alpha2 y2) + a0(x)(alpha1 y1 + alpha2 y2) na combinação linear :
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculemos D^2(alpha1 y1 + alpha2 y2) = alpha1 D^2 y1 + alpha2 D^2 y2 :
Isso porque a derivada é linear.

Passo 5

Em seguida, calculamos a1(x) D(alpha1 y1 + alpha2 y2) = a1(x) (alpha1 D y1 + alpha2 D y2) = alpha1 a1(x) D y1 + alpha2 a1(x) D y2 :
Aqui, multiplicamos pela função , que é uma função conhecida e contínua.

Passo 6

Por último, temos o termo a0(x)(alpha1 y1 + alpha2 y2) = alpha1 a0(x) y1 + alpha2 a0(x) y2 :
Novamente, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação.

Passo 7

Juntando todos os termos calculados:
L(alpha1 y1 + alpha2 y2) = alpha1 D^2 y1 + alpha2 D^2 y2 + alpha1 a1(x) D y1 + alpha2 a1(x) D y2 + alpha1 a0(x) y1 + alpha2 a0(x) y2
Agora, podemos agrupar os termos com L(alpha1 y1 + alpha2 y2) = alpha1 (D^2 y1 + a1(x) D y1 + a0(x) y1) + alpha2 (D^2 y2 + a1(x) D y2 + a0(x) y2) e L(alpha1 y1 + alpha2 y2) = alpha1 L(y1(x)) + alpha2 L(y2(x)) :
Isso pode ser reescrito como:

Passo 8

Isso mostra que o operador satisfaz a propriedade de linearidade, pois aplicando na combinação linear das funções dá a mesma coisa que a combinação linear das aplicações de em cada função individualmente.

Resposta

O operador é linear.

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