Se f e g são tais que o wronskiano delas vem dada por W[f, g](x) = x * sen^2(x), determine se elas são LI

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem duas funções, f e g, e o wronskiano delas é dado por:
A pergunta é: essas funções são linearmente independentes (LI)?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o wronskiano e como ele está relacionado com a independência linear das funções. Não se preocupa se não sabe muito sobre isso, vamos explicar tudinho passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre independência linear. Duas funções f e g são consideradas linearmente independentes se não existe um número constante c tal que . Em outras palavras, uma função não pode ser escrita como uma múltiplo da outra.

Passo 3

Agora, o wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar essa independência. Para duas funções f e g, o wronskiano é definido como:
Se o wronskiano for diferente de zero em pelo menos um ponto no intervalo considerado, isso indica que as funções são linearmente independentes nesse intervalo.

Passo 4

Vamos analisar o wronskiano dado:
Queremos ver onde esse wronskiano é diferente de zero.
  • Para x != 0: Sabemos que é sempre maior ou igual a zero, e multiplicando por x, que é diferente de zero, o wronskiano também será diferente de zero.
  • Para x = 0: Aqui, o wronskiano é zero, porque multiplica por x.

Passo 5

Mesmo que o wronskiano seja zero em x = 0, ele é diferente de zero para todos os outros valores de x. Isso é suficiente para concluir que as funções f e g são linearmente independentes no intervalo considerado (exceto possivelmente no ponto x = 0, mas isso não afeta a independência geral).

Resposta

As funções f e g são linearmente independentes.

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