Para os seguintes pares de funções determine se elas são LI
(a)
e
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se as funções
e
são linearmente independentes (LI). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a ideia de combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa as funções serem linearmente independentes. Duas funções são LI se a única maneira de combinar elas de forma que a combinação dê zero para todo valor de
é se os coeficientes dessa combinação forem zero.
Passo 3
Vamos montar uma equação onde uma combinação linear das funções
e
é igual a zero:
Substituindo as funções:
Passo 4
Agora, distribuindo os coeficientes:
Vamos juntar os termos semelhantes:
Passo 5
Para que essa equação seja verdadeira para todo
, os coeficientes de
e de
devem ser iguais a zero:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, temos:
Substituindo na segunda equação:
Então,
.
Passo 7
Achamos que
e
. Isso significa que a única solução para a combinação linear ser zero é se ambos os coeficientes forem zero.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes.