Para os seguintes pares de funções determine se elas são LI
(a) f(t) = t^2 + 5t e g(t) = t^2 - 5t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se as funções e são linearmente independentes (LI). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a ideia de combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa as funções serem linearmente independentes. Duas funções são LI se a única maneira de combinar elas de forma que a combinação dê zero para todo valor de é se os coeficientes dessa combinação forem zero.

Passo 3

Vamos montar uma equação onde uma combinação linear das funções e é igual a zero:
Substituindo as funções:

Passo 4

Agora, distribuindo os coeficientes:
Vamos juntar os termos semelhantes:

Passo 5

Para que essa equação seja verdadeira para todo , os coeficientes de e de devem ser iguais a zero:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, temos:
Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 7

Achamos que e . Isso significa que a única solução para a combinação linear ser zero é se ambos os coeficientes forem zero.

Resposta

As funções e são linearmente independentes.

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