Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:
(f) x^2+y^2+z^2=25

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa reescrever a equação da superfície usando coordenadas cilíndricas e esféricas. Para isso, vamos usar as fórmulas de transformação entre coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas. Básico, mas essencial para entender como mudar de um sistema de coordenadas para outro.

Passo 2

Primeiro, vamos converter para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, as relações são:
x = r cos(theta), y = r sin(theta), z = z
E a equação original é (r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 + z^2 = 25 . Substituindo r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) + z^2 = 25 e r^2 + z^2 = 25 :
Simplificando:
Sabemos que , então:
Essa é a equação da superfície em coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Agora, vamos para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, as relações são:
x = rho sin(phi) cos(theta), y = rho sin(phi) sin(theta), z = rho cos(phi)
E a equação original é (rho sin(phi) cos(theta))^2 + (rho sin(phi) sin(theta))^2 + (rho cos(phi))^2 = 25 . Substituindo rho^2 sin^2(phi) cos^2(theta) + rho^2 sin^2(phi) sin^2(theta) + rho^2 cos^2(phi) = 25 , rho^2 (sin^2(phi)(cos^2(theta) + sin^2(theta)) + cos^2(phi)) = 25 e rho^2 (sin^2(phi) + cos^2(phi)) = 25 :
rho^2 = 25 Rightarrow rho = 5
Simplificando:
Fatorando :
Como :
E mais uma vez, , então:
Essa é a equação da superfície em coordenadas esféricas.

Resposta

A equação Cilíndricas: r^2 + z^2 = 25 pode ser escrita nas coordenadas:
Esféricas: rho = 5 í
é

Exercícios relacionados