Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa reescrever a equação da superfície
usando coordenadas cilíndricas e esféricas. Para isso, vamos usar as fórmulas de transformação entre coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas. Básico, mas essencial para entender como mudar de um sistema de coordenadas para outro.
Passo 2
Primeiro, vamos converter para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, as relações são:
E a equação original é
. Substituindo
e
:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Essa é a equação da superfície em coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Agora, vamos para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, as relações são:
E a equação original é
. Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Fatorando
:
Como
:
E mais uma vez,
, então:
Essa é a equação da superfície em coordenadas esféricas.
Resposta
A equação
pode ser escrita nas coordenadas:
Exercícios relacionados
As superfícies
e
estão em coordenadas esféricas.
$(a) Obtenha as equações das superfícies e
em coordenadas cartesianas e identifique-as.
$(a) Obtenha as equações das superfícies
Dados os pontos
,
,
a) Represente os pontos no sistema tridimensional.
a) Represente os pontos no sistema tridimensional.
Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta.
c) Existe uma transformação linear que é bijetora
c) Existe uma transformação linear
Identifique as seguintes curvas:
dada em coordenadas cilíndricas