Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa reescrever a equação da superfície
usando coordenadas cilíndricas e esféricas. Para isso, vamos usar as fórmulas de transformação entre coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas. Básico, mas essencial para entender como mudar de um sistema de coordenadas para outro.
Passo 2
Primeiro, vamos converter para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, as relações são:
E a equação original é
. Substituindo
e
:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Essa é a equação da superfície em coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Agora, vamos para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, as relações são:
E a equação original é
. Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Fatorando
:
Como
:
E mais uma vez,
, então:
Essa é a equação da superfície em coordenadas esféricas.
Resposta
A equação
pode ser escrita nas coordenadas: