Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para escrever a superfície
em coordenadas cilíndricas e esféricas. Isso envolve entender como mudar de um sistema de coordenadas cartesianas para esses outros sistemas, usando as fórmulas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos passar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos três componentes:
(a distância do ponto à origem no plano xy),
(o ângulo em relação ao eixo x), e
(que permanece igual ao da coordenada cartesiana).
Passo 3
A equação dada é
. Como em coordenadas cilíndricas o
continua o mesmo, a equação em coordenadas cilíndricas fica simplesmente:
Isso significa que, independentemente do valor de
e
, o valor de
sempre será 4.
Passo 4
Agora, vamos para as coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, usamos
(a distância do ponto à origem),
(o ângulo no plano xy, igual ao das coordenadas cilíndricas), e
(o ângulo entre o vetor posição e o eixo z).
Passo 5
Queremos expressar
em termos de
e
. Sabemos que:
Então, substituindo na equação dada:
Portanto, a equação em coordenadas esféricas é:
Resposta
A superfície
é representada por:
Exercícios relacionados
Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:
Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:
Dados os pontos
,
,
c) Quais pontos estão no eixo x ?
c) Quais pontos estão no eixo x ?
Identifique as seguintes curvas:
dada em coordenadas cilíndricas