Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para escrever a superfície em coordenadas cilíndricas e esféricas. Isso envolve entender como mudar de um sistema de coordenadas cartesianas para esses outros sistemas, usando as fórmulas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos passar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos três componentes: (a distância do ponto à origem no plano xy), (o ângulo em relação ao eixo x), e (que permanece igual ao da coordenada cartesiana).

Passo 3

A equação dada é . Como em coordenadas cilíndricas o continua o mesmo, a equação em coordenadas cilíndricas fica simplesmente:
Isso significa que, independentemente do valor de e , o valor de sempre será 4.

Passo 4

Agora, vamos para as coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, usamos (a distância do ponto à origem), (o ângulo no plano xy, igual ao das coordenadas cilíndricas), e (o ângulo entre o vetor posição e o eixo z).

Passo 5

Queremos expressar em termos de e . Sabemos que:
Então, substituindo na equação dada:
Portanto, a equação em coordenadas esféricas é:

Resposta

A superfície é representada por:
í
é

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Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:
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Dados os pontos , ,
c) Quais pontos estão no eixo x ?
Identifique as seguintes curvas:
dada em coordenadas cilíndricas