Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para escrever a superfície
em coordenadas cilíndricas e esféricas. Vamos usar as transformações de coordenadas e entender como essas mudanças funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos converter para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, substituímos
e
por
e
respectivamente, e mantemos
igual. Além disso, sabemos que
.
Passo 3
Vamos substituir esses valores na equação original:
Ficando assim:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Passo 5
Portanto, em coordenadas cilíndricas, a equação da superfície é:
Passo 6
Agora, vamos para as coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, usamos
para a distância do ponto à origem,
para o ângulo no plano
, e
para o ângulo com o eixo
. As relações são:
E também sabemos que
.
Passo 7
Substituindo essas expressões na equação original:
Torna-se:
Passo 8
Fatorando
:
Passo 9
Como
, podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 10
Rearranjando os termos:
Passo 11
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 12
Extraindo a raiz quadrada:
Isso nos dá:
Resposta
A superfície
pode ser descrita em coordenadas cilíndricas por
e em coordenadas esféricas pelas equações
e
.
Exercícios relacionados
Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:
Dados os pontos
,
,
b) Escreva os vetores como combinação linear dos vetores
e
.
b) Escreva os vetores
Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:
Dados os pontos
,
,
c) Quais pontos estão no eixo x ?
c) Quais pontos estão no eixo x ?