Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:
(c) x^2+y^2-z^2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para escrever a superfície em coordenadas cilíndricas e esféricas. Vamos usar as transformações de coordenadas e entender como essas mudanças funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos converter para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, substituímos e por e respectivamente, e mantemos igual. Além disso, sabemos que .

Passo 3

Vamos substituir esses valores na equação original:
x^2 + y^2 - z^2 = 0
Ficando assim:
r^2 - z^2 = 0

Passo 4

Agora, isolamos r^2 = z^2 :

Passo 5

Portanto, em coordenadas cilíndricas, a equação da superfície é:
r^2 = z^2

Passo 6

Agora, vamos para as coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, usamos x = rho sin phi cos theta para a distância do ponto à origem, y = rho sin phi sin theta para o ângulo no plano z = rho cos phi , e para o ângulo com o eixo . As relações são:
E também sabemos que .

Passo 7

Substituindo essas expressões na equação original:
x^2 + y^2 - z^2 = 0
Torna-se:
rho^2 sin^2 phi - rho^2 cos^2 phi = 0

Passo 8

Fatorando rho^2 (sin^2 phi - cos^2 phi) = 0 :

Passo 9

Como sin^2 phi - cos^2 phi = 0 , podemos dividir ambos os lados por :

Passo 10

Rearranjando os termos:
sin^2 phi = cos^2 phi

Passo 11

Dividindo ambos os lados por tan^2 phi = 1 :

Passo 12

Extraindo a raiz quadrada:
tan phi = pm 1
Isso nos dá:
phi = pi4 ou phi = 3pi4

Resposta

A superfície pode ser descrita em coordenadas cilíndricas por e em coordenadas esféricas pelas equações e .

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