Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para escrever a superfície em coordenadas cilíndricas e esféricas. Vamos usar as transformações de coordenadas e entender como essas mudanças funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos converter para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, substituímos e por e respectivamente, e mantemos igual. Além disso, sabemos que .

Passo 3

Vamos substituir esses valores na equação original:
Ficando assim:

Passo 4

Agora, isolamos :

Passo 5

Portanto, em coordenadas cilíndricas, a equação da superfície é:

Passo 6

Agora, vamos para as coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, usamos para a distância do ponto à origem, para o ângulo no plano , e para o ângulo com o eixo . As relações são:
E também sabemos que .

Passo 7

Substituindo essas expressões na equação original:
Torna-se:

Passo 8

Fatorando :

Passo 9

Como , podemos dividir ambos os lados por :

Passo 10

Rearranjando os termos:

Passo 11

Dividindo ambos os lados por :

Passo 12

Extraindo a raiz quadrada:
Isso nos dá:

Resposta

A superfície pode ser descrita em coordenadas cilíndricas por e em coordenadas esféricas pelas equações e .

Exercícios relacionados

Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:
Dados os pontos , ,
b) Escreva os vetores como combinação linear dos vetores e .
Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:
Dados os pontos , ,
c) Quais pontos estão no eixo x ?