Escreva os seis primeiros termos da sequência definida definidas pelos termos gerais a seguir
 
A)an = 2 n + 1 
 
B)an = n + (½)²
 
C)an = 1 / n + 2 n / 3
 
D)an = - 3 n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever os seis primeiros termos de quatro sequências diferentes, cada uma definida por uma fórmula diferente. Vamos precisar lembrar como funciona uma sequência e como usar a fórmula do termo geral para calcular os termos.

Passo 2

Parte A: A fórmula do termo geral é $ a_n = 2n + 1 $. Isso significa que para cada posição $ n $ na sequência, o termo é igual a $ 2 $ vezes $ n $ mais $ 1 $.

Passo 3

Vamos calcular os termos de $ n = 1 $ a $ n = 6 $:
  • Para $ n = 1 $: $ a_1 = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3 $
  • Para $ n = 2 $: $ a_2 = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 $
  • Para $ n = 3 $: $ a_3 = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7 $
  • Para $ n = 4 $: $ a_4 = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9 $
  • Para $ n = 5 $: $ a_5 = 2(5) + 1 = 10 + 1 = 11 $
  • Para $ n = 6 $: $ a_6 = 2(6) + 1 = 12 + 1 = 13 $

Passo 4

Parte B: A fórmula do termo geral é $ a_n = n + \left(\frac{1}{2}\right)^2 $. Primeiro, vamos simplificar a parte constante: $ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} $. Então, a fórmula fica $ a_n = n + \frac{1}{4} $.

Passo 5

Vamos calcular os termos de $ n = 1 $ a $ n = 6 $:
  • Para $ n = 1 $: $ a_1 = 1 + \frac{1}{4} = 1,25 $
  • Para $ n = 2 $: $ a_2 = 2 + \frac{1}{4} = 2,25 $
  • Para $ n = 3 $: $ a_3 = 3 + \frac{1}{4} = 3,25 $
  • Para $ n = 4 $: $ a_4 = 4 + \frac{1}{4} = 4,25 $
  • Para $ n = 5 $: $ a_5 = 5 + \frac{1}{4} = 5,25 $
  • Para $ n = 6 $: $ a_6 = 6 + \frac{1}{4} = 6,25 $

Passo 6

Parte C: A fórmula do termo geral é $ a_n = \frac{1}{n} + \frac{2n}{3} $. Aqui temos duas partes: $ \frac{1}{n} $ e $ \frac{2n}{3} $. Vamos calcular cada termo separadamente e depois somar.

Passo 7

Vamos calcular os termos de $ n = 1 $ a $ n = 6 $:
  • Para $ n = 1 $: $ a_1 = \frac{1}{1} + \frac{2(1)}{3} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \approx 1,67 $
  • Para $ n = 2 $: $ a_2 = \frac{1}{2} + \frac{2(2)}{3} = 0,5 + \frac{4}{3} = \frac{11}{6} \approx 1,83 $
  • Para $ n = 3 $: $ a_3 = \frac{1}{3} + \frac{2(3)}{3} = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3} \approx 2,33 $
  • Para $ n = 4 $: $ a_4 = \frac{1}{4} + \frac{2(4)}{3} = 0,25 + \frac{8}{3} = \frac{26}{12} \approx 2,17 $
  • Para $ n = 5 $: $ a_5 = \frac{1}{5} + \frac{2(5)}{3} = 0,2 + \frac{10}{3} = \frac{16}{3} \approx 3,33 $
  • Para $ n = 6 $: $ a_6 = \frac{1}{6} + \frac{2(6)}{3} = \frac{1}{6} + 4 = \frac{25}{6} \approx 4,17 $

Passo 8

Parte D: A fórmula do termo geral é $ a_n = -3n $. Isso significa que para cada posição $ n $, o termo é igual a $ -3 $ vezes $ n $.

Passo 9

Vamos calcular os termos de $ n = 1 $ a $ n = 6 $:
  • Para $ n = 1 $: $ a_1 = -3(1) = -3 $
  • Para $ n = 2 $: $ a_2 = -3(2) = -6 $
  • Para $ n = 3 $: $ a_3 = -3(3) = -9 $
  • Para $ n = 4 $: $ a_4 = -3(4) = -12 $
  • Para $ n = 5 $: $ a_5 = -3(5) = -15 $
  • Para $ n = 6 $: $ a_6 = -3(6) = -18 $

Resposta

Os seis primeiros termos das sequências são:
  • A) $ 3, 5, 7, 9, 11, 13 $
  • B) $ 1,25, 2,25, 3,25, 4,25, 5,25, 6,25 $
  • C) $ \frac{5}{3} $, $ \frac{11}{6} $, $ \frac{7}{3} $, $ \frac{26}{12} $, $ \frac{16}{3} $, $ \frac{25}{6} $ (aproximadamente $ 1,67, 1,83, 2,33, 2,17, 3,33, 4,17 $)
  • D) $ -3, -6, -9, -12, -15, -18 $

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