Escreva se a série é convergente ou divergente. Deixe claro o teste usado. sumn=1^infty(-1)^n n^2e^n

Passo 1

Beleza, a gente tem uma série aqui para verificar se ela converge ou diverge. A série é:
sumn=1^infty(-1)^n n^2e^n
Vamos usar os testes de convergência de séries, especificamente o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão para decidir qual aplicar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o Teste da Série Alternada. Esse teste funciona quando a série tem termos que alternam de sinal, como é o caso aqui por causa do .

Passo 3

Para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
  1. Se os valores absolutos dos termos estão diminuindo.
  2. Se o limite dos termos quando tende ao infinito é zero.

Passo 4

Vamos verificar o primeiro ponto: se está diminuindo. Sabemos que cresce mais rápido que qualquer potência de , então sim, diminui conforme aumenta.

Passo 5

Agora, o segundo ponto: calculamos o limite dos termos:
limn to infty n^2e^n = 0
Isso acontece porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador.

Passo 6

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série converge.

Passo 7

Para garantir, vamos aplicar o Teste da Razão. Calculamos:
limn to infty | an+1an | = limn to infty (n+1)^2e^n+1 cdot e^nn^2 = limn to infty (n+1)^2n^2 cdot 1e = 1e < 1
Como o limite é menor que 1, o Teste da Razão também confirma que a série converge.

Resposta

A série é convergente. Utilizamos o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão para chegar a essa conclusão.

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