Escreva se a série é convergente ou divergente. Deixe claro o teste usado.
Passo 1
Beleza, a gente tem uma série aqui para verificar se ela converge ou diverge. A série é:
Vamos usar os testes de convergência de séries, especificamente o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão para decidir qual aplicar.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o Teste da Série Alternada. Esse teste funciona quando a série tem termos que alternam de sinal, como é o caso aqui por causa do .
Passo 3
Para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
Se os valores absolutos dos termos estão diminuindo.
Se o limite dos termos quando tende ao infinito é zero.
Passo 4
Vamos verificar o primeiro ponto: se está diminuindo. Sabemos que cresce mais rápido que qualquer potência de , então sim, diminui conforme aumenta.
Passo 5
Agora, o segundo ponto: calculamos o limite dos termos:
Isso acontece porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador.
Passo 6
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série converge.
Passo 7
Para garantir, vamos aplicar o Teste da Razão. Calculamos:
Como o limite é menor que 1, o Teste da Razão também confirma que a série converge.
Resposta
A série é convergente. Utilizamos o Teste da Série Alternada e o Teste da Razão para chegar a essa conclusão.