Dê uma sequência (a_n)_{n ∈ N} que satisfaça o enunciado. Não precisa provar, somente dar o exemplo. (a_n)_{n ∈ N} monótona mas não convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente dar um exemplo de uma sequência que seja monótona mas não convergente. Isso significa que a sequência deve estar sempre aumentando ou sempre diminuindo, mas não se aproximar de nenhum número específico à medida que cresce. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências monótonas e convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma sequência monótona. Uma sequência é monótona crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, ou monótona decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior. Já uma sequência convergente é aquela que se aproxima de um número específico quando tende ao infinito.

Passo 3

Agora, para que uma sequência monótona não seja convergente, ela precisa “correr” para o infinito ou para o menos infinito. Ou seja, ao invés de se aproximar de um número finito, ela continua aumentando ou diminuindo sem limites.

Passo 4

Vamos criar um exemplo. Pense na sequência . Aqui, cada termo é maior que o anterior:
Essa é uma sequência monótona crescente.

Passo 5

Vamos verificar a convergência. Ao aumentar , os termos ficam cada vez maiores sem parar. Eles não se aproximam de nenhum número específico, mas tendem ao infinito. Portanto, a sequência não converge.

Resposta

Um exemplo de sequência monótona mas não convergente é .

Exercícios relacionados