Obtenha os trê três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de e^x e use os mesmos para aproximar e^0,1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é pegar os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin para a função . A série de Maclaurin é uma forma de escrever funções como somas infinitas de potências de , o que facilita a aproximação de valores. Depois de pegar esses três termos, vamos usar eles para aproximar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a série de Maclaurin. Ela é uma expansão de uma função em torno de e tem a forma:
No nosso caso, a função é . Simplificando isso, sabemos que .

Passo 3

Agora, vamos derivar a função para encontrar as derivadas necessárias:
  1. Função original:
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Terceira derivada:
Como podemos ver, todas as derivadas de são iguais a .

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas em :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 5

Agora, vamos montar os três primeiros termos da série de Maclaurin usando essas derivadas:
Substituindo os valores que encontramos:
Então, os três primeiros termos não nulos são:

Passo 6

Agora, vamos usar esses termos para aproximar . Lembre-se que , então para achar , precisamos resolver:
Então,
Agora, substituímos na aproximação da série:

Passo 7

Vamos calcular cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Passo 8

Agora, somando os três termos:

Resposta

A aproximação de usando os três primeiros termos da série de Maclaurin é aproximadamente 1,3712.

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