Obtenha os trê três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de
use os mesmos para aproximar
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é pegar os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin para a função
. A série de Maclaurin é uma forma de escrever funções como somas infinitas de potências de
, o que facilita a aproximação de valores. Depois de pegar esses três termos, vamos usar eles para aproximar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a série de Maclaurin. Ela é uma expansão de uma função em torno de
e tem a forma:
No nosso caso, a função é
. Simplificando isso, sabemos que
.
Passo 3
Agora, vamos derivar a função para encontrar as derivadas necessárias:
- Função original:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
Como podemos ver, todas as derivadas de
são iguais a
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas em
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 5
Agora, vamos montar os três primeiros termos da série de Maclaurin usando essas derivadas:
Substituindo os valores que encontramos:
Então, os três primeiros termos não nulos são:
Passo 6
Agora, vamos usar esses termos para aproximar
. Lembre-se que
, então para achar
, precisamos resolver:
Então,
Agora, substituímos
na aproximação da série:
Passo 7
Vamos calcular cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 8
Agora, somando os três termos:
Resposta
A aproximação de
usando os três primeiros termos da série de Maclaurin é aproximadamente 1,3712.