Escreva como uma série infinita a dízima periódica e ache sua fração geratriz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para transformar a dízima periódica em uma série infinita e, depois, encontrar a fração que gera esse número. Vamos precisar entender como representar números decimais periódicos como somas infinitas e depois simplificar para achar a fração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte que se repete no número . Nesse caso, o dígito que se repete é o , que aparece infinitamente após o . Então, podemos escrever o número como:
Aqui, é a parte fixa e é a parte que se repete.

Passo 3

Agora, vamos focar na parte que se repete: . Isso pode ser escrito como uma série infinita:
Essa é uma progressão geométrica onde cada termo é vezes menor que o anterior.

Passo 4

Sabemos que a soma de uma progressão geométrica infinita onde cada termo é vezes o anterior (com ) é dada por:
Aqui, e . Aplicando a fórmula:

Passo 5

Agora, voltamos ao número original:
Vamos converter para fração:

Passo 6

Somamos as duas partes:
Para somar frações, precisamos de denominadores iguais. O mínimo múltiplo comum entre e é :
Então:

Resposta

A fração geratriz da dízima periódica é .

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