Escreva como uma série infinita a dízima periódica
e ache sua fração geratriz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para transformar a dízima periódica
em uma série infinita e, depois, encontrar a fração que gera esse número. Vamos precisar entender como representar números decimais periódicos como somas infinitas e depois simplificar para achar a fração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte que se repete no número
. Nesse caso, o dígito que se repete é o
, que aparece infinitamente após o
. Então, podemos escrever o número como:
Aqui,
é a parte fixa e
é a parte que se repete.
Passo 3
Agora, vamos focar na parte que se repete:
. Isso pode ser escrito como uma série infinita:
Essa é uma progressão geométrica onde cada termo é
vezes menor que o anterior.
Passo 4
Sabemos que a soma de uma progressão geométrica infinita onde cada termo é
vezes o anterior (com
) é dada por:
Aqui,
e
. Aplicando a fórmula:
Passo 5
Agora, voltamos ao número original:
Vamos converter
para fração:
Passo 6
Somamos as duas partes:
Para somar frações, precisamos de denominadores iguais. O mínimo múltiplo comum entre
e
é
:
Então:
Resposta
A fração geratriz da dízima periódica
é
.
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Sendo , temos:
Sendo
- Linearidade
em que
e
são constantes.