Verifique se as séries, a seguir, são convergente. Em caso positivo, determine sua soma.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita: . O conteúdo envolvido aqui é o de séries convergentes, especificamente séries geométricas. Para resolver isso, vamos verificar se a série converge e, se sim, calcular a soma dela.
Passo 2
Vamos reescrever a expressão da série para facilitar a identificação. Observe que e . Então, a série fica:
Passo 3
Agora, percebemos que essa é uma série geométrica da forma , onde . Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .
Passo 4
Vamos verificar se :
Como é menor que 1, a série converge.
Passo 5
Para encontrar a soma da série geométrica, usamos a fórmula: