Verifique se as séries, a seguir, são convergente. Em caso positivo, determine sua soma. sumn=1^infty 2^2 n3^3 n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita: . O conteúdo envolvido aqui é o de séries convergentes, especificamente séries geométricas. Para resolver isso, vamos verificar se a série converge e, se sim, calcular a soma dela.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão da série para facilitar a identificação. Observe que sumn=1^infty 4^n27^n = sumn=1^infty ( 427 )^n e . Então, a série fica:

Passo 3

Agora, percebemos que essa é uma série geométrica da forma , onde . Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .

Passo 4

Vamos verificar se | 427 | = 427 approx 0,148 < 1 :
Como é menor que 1, a série converge.

Passo 5

Para encontrar a soma da série geométrica, usamos a fórmula:
S = r1 - r
onde .

Passo 6

Substituindo na fórmula:
S = 4271 - 427 = 4272327 = 423

Resposta

A série é convergente e a sua soma é .

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