Prove as seguintes propriedades da transformada de Fourier:
Sendo , temos:
  1. Linearidade
em que e são constantes.

Passo 1

Neste exercício, vamos provar a propriedade de linearidade da Transformada de Fourier. A Transformada de Fourier é uma ferramenta que transforma uma função do domínio do tempo para o domínio da frequência. A propriedade de linearidade nos diz que a transformada de uma combinação linear de funções é igual a combinação linear das transformadas dessas funções. Para isso, vamos precisar entender a definição da Transformada de Fourier e como ela se comporta com somas e multiplicações por constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Fourier de uma função :
Aqui, é a unidade imaginária, é a frequência angular, e é a transformada de .

Passo 3

Agora, consideramos uma combinação linear de duas funções e multiplicadas por constantes e :
Queremos encontrar a Transformada de Fourier dessa expressão.

Passo 4

Aplicando a Transformada de Fourier na combinação linear, temos:

Passo 5

Vamos separar a integral utilizando a propriedade de linearidade da integral, que permite separar a soma dentro da integral:

Passo 6

Observando as integrais separadas, percebemos que cada uma delas é a Transformada de Fourier das funções individuais e . Assim, podemos substituir:

Passo 7

Finalmente, juntando as duas partes, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que a Transformada de Fourier é linear:

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