Prove as seguintes propriedades da transformada de Fourier:
Sendo
, temos:
- Linearidade
em que
e
são constantes.
Sendo
Passo 1
Neste exercício, vamos provar a propriedade de linearidade da Transformada de Fourier. A Transformada de Fourier é uma ferramenta que transforma uma função do domínio do tempo para o domínio da frequência. A propriedade de linearidade nos diz que a transformada de uma combinação linear de funções é igual a combinação linear das transformadas dessas funções. Para isso, vamos precisar entender a definição da Transformada de Fourier e como ela se comporta com somas e multiplicações por constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Fourier de uma função
:
Aqui,
é a unidade imaginária,
é a frequência angular, e
é a transformada de
.
Passo 3
Agora, consideramos uma combinação linear de duas funções
e
multiplicadas por constantes
e
:
Queremos encontrar a Transformada de Fourier dessa expressão.
Passo 4
Aplicando a Transformada de Fourier na combinação linear, temos:
Passo 5
Vamos separar a integral utilizando a propriedade de linearidade da integral, que permite separar a soma dentro da integral:
Passo 6
Observando as integrais separadas, percebemos que cada uma delas é a Transformada de Fourier das funções individuais
e
. Assim, podemos substituir:
Passo 7
Finalmente, juntando as duas partes, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que a Transformada de Fourier é linear:
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é constante.
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