Use o teste da comparação direta para determinar a convergência/divergência das séries:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série, que é tipo uma soma infinita, igual a
. A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Comparação Direta, que nos ajuda a saber se uma série converge (ou seja, dá um resultado finito) ou diverge (não dá um resultado finito). Para aplicar esse teste, precisamos encontrar uma outra série que a gente já conhece se ela converge ou diverge e que seja fácil de comparar com a série dada.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na série que a gente tem:
. Observando isso, podemos ver que conforme
cresce,
fica muito maior que 1, então a fração
vai se comportar mais ou menos como
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma série que a gente já conhece: a série p, que é
. Sabemos que essa série converge se
e diverge se
. No nosso caso,
é uma série p com
, que é maior que 1, então
converge.
Passo 4
Vamos usar o Teste da Comparação Direta agora. A gente precisa mostrar que
para todo
maior ou igual a 1. Vamos ver:
Invertendo os lados (lembrando que inverter uma desigualdade entre positivos mantém a direção):
Isso confirma que a nossa série original é menor ou igual à série p que a gente sabe que converge.
Passo 5
Como a série que a gente está analisando é menor ou igual a uma série que converge, de acordo com o Teste da Comparação Direta, a série
também converge.
Resposta
A série
converge por meio do Teste da Comparação Direta.
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