Use o teste da comparação direta para determinar a convergência/divergência das séries:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série, que é tipo uma soma infinita, igual a . A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Comparação Direta, que nos ajuda a saber se uma série converge (ou seja, dá um resultado finito) ou diverge (não dá um resultado finito). Para aplicar esse teste, precisamos encontrar uma outra série que a gente já conhece se ela converge ou diverge e que seja fácil de comparar com a série dada.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na série que a gente tem: . Observando isso, podemos ver que conforme cresce, fica muito maior que 1, então a fração vai se comportar mais ou menos como .

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma série que a gente já conhece: a série p, que é . Sabemos que essa série converge se e diverge se . No nosso caso, é uma série p com , que é maior que 1, então converge.

Passo 4

Vamos usar o Teste da Comparação Direta agora. A gente precisa mostrar que para todo maior ou igual a 1. Vamos ver:
Invertendo os lados (lembrando que inverter uma desigualdade entre positivos mantém a direção):
Isso confirma que a nossa série original é menor ou igual à série p que a gente sabe que converge.

Passo 5

Como a série que a gente está analisando é menor ou igual a uma série que converge, de acordo com o Teste da Comparação Direta, a série também converge.

Resposta

A série converge por meio do Teste da Comparação Direta.

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