Use o teste da comparação direta para determinar a convergência/divergência das séries:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Comparação Direta para ver se a série
converge ou diverge. Para fazer isso, vamos comparar essa série com uma outra série que a gente já sabe o comportamento, tipo se ela converge ou divergence.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. A ideia é encontrar uma série comparável que seja mais simples de entender. Note que, conforme
cresce, o termo
no denominador se torna menos significativo em comparação com
. Então, podemos simplificar a expressão para entender melhor o comportamento.
Passo 3
Vamos então fazer uma comparação. Observamos que
para todo
. Isso significa que:
Então, a nossa série
é menor do que
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a série de comparação
. Podemos reescrever essa série como:
Essa é uma série p, onde
. Sabemos que uma série p converge se
e diverge se
. Aqui,
, então a série
diverge.
Passo 5
Voltando ao Teste da Comparação Direta: se a série comparada
diverge e temos que
para todos os
(ou
e ambas positivas), então a série original
também diverge.
No nosso caso,
e a série
diverge. No entanto, para concluir a divergência da série original, precisamos que a série comparada seja menor ou igual e que ela diverja. Aqui, a série comparada é maior, então precisamos ajustar nossa comparação.
Vamos refazer a comparação de forma correta.
Passo 6
Vamos inverter a comparação. Sabemos que
para todo
. Então:
Agora, a série
também é uma série p com
, que sabemos que diverge.
Passo 7
Segundo o Teste da Comparação Direta, se
e
diverge, então
também diverge. Aqui,
e
diverge, portanto, a série original
diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Comparação Direta.
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Sendo
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e
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2) Escala de tempo
2) Escala de tempo
em que
é constante.