Use o teste da comparação direta para determinar a convergência/divergência das séries:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Comparação Direta para ver se a série converge ou diverge. Para fazer isso, vamos comparar essa série com uma outra série que a gente já sabe o comportamento, tipo se ela converge ou divergence.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . A ideia é encontrar uma série comparável que seja mais simples de entender. Note que, conforme cresce, o termo no denominador se torna menos significativo em comparação com . Então, podemos simplificar a expressão para entender melhor o comportamento.

Passo 3

Vamos então fazer uma comparação. Observamos que para todo . Isso significa que:
Então, a nossa série é menor do que .

Passo 4

Agora, vamos analisar a série de comparação . Podemos reescrever essa série como:
Essa é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se e diverge se . Aqui, , então a série diverge.

Passo 5

Voltando ao Teste da Comparação Direta: se a série comparada diverge e temos que para todos os (ou e ambas positivas), então a série original também diverge.
No nosso caso, e a série diverge. No entanto, para concluir a divergência da série original, precisamos que a série comparada seja menor ou igual e que ela diverja. Aqui, a série comparada é maior, então precisamos ajustar nossa comparação.
Vamos refazer a comparação de forma correta.

Passo 6

Vamos inverter a comparação. Sabemos que para todo . Então:
Agora, a série também é uma série p com , que sabemos que diverge.

Passo 7

Segundo o Teste da Comparação Direta, se e diverge, então também diverge. Aqui, e diverge, portanto, a série original diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Comparação Direta.

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