Escreva o sistema sob a forma matricial e encontre sua solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações diferenciais e precisa escrevê-lo na forma matricial. Depois, vamos encontrar a solução geral desse sistema. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações que temos:
Aqui, e representam as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Agora, vamos escrever esse sistema na forma matricial. Para fazer isso, colocamos os coeficientes das incógnitas em uma matriz e as funções derivadas em outra. Ficará assim:

[



]

Passo 4

Para encontrar a solução geral desse sistema, precisamos resolver as equações diferenciais. Vamos encontrar os autovalores ( ) da matriz .
Calculamos o determinante :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :

[



]
Isso resulta em , ou seja, . Podemos escolher , então o autovetor é .
Para :

[



]
Isso resulta em , ou seja, . Podemos escolher , então o autovetor é .

Passo 6

Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes reais.

Exercícios relacionados

Resolva:
Resolva:
Resolva os sistemas:
Resolva os sistemas: