Escreva o sistema sob a forma matricial e encontre sua solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações diferenciais e precisa escrevê-lo na forma matricial. Depois, vamos encontrar a solução geral desse sistema. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações que temos:
Aqui, e representam as derivadas de e em relação a .
Passo 3
Agora, vamos escrever esse sistema na forma matricial. Para fazer isso, colocamos os coeficientes das incógnitas em uma matriz e as funções derivadas em outra. Ficará assim:
[
]
Passo 4
Para encontrar a solução geral desse sistema, precisamos resolver as equações diferenciais. Vamos encontrar os autovalores () da matriz .
Calculamos o determinante :
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
[
]
Isso resulta em , ou seja, . Podemos escolher , então o autovetor é .
Para :
[
]
Isso resulta em , ou seja, . Podemos escolher , então o autovetor é .
Passo 6
Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.